Dualità di Shur-Weyl

La dualità di Schur-Weyl è un teorema studiato in teoria delle rappresentazioni che mette in relazione le rappresentazioni irriducibili di dimensione finita del gruppo generale lineare e del gruppo simmetrico . Eredita il nome da due importanti figure di rilievo nello studio della teoria delle rappresentazioni dei gruppi di Lie, Issai Schur, che scoprì il fenomeno, e Hermann Weyl, che lo rese popolare nei suoi libri sulla meccanica quantistica e sui gruppi classici come un modo per classificare le rappresentazioni di gruppi lineari unitari e generali.

La dualità di Schur-Weyl può essere dimostrata mediante il Teorema del doppio centralizzatore.

Descrizione

La dualità di Schur-Weyl presenta una struttura tipica nella teoria delle rappresentazioni, in cui sono coinvolti due tipi di simmetria che si determinano a vicenda. Consideriamo lo spazio tensoriale

${({ℂ}^n)}^{\otimes k}:={ℂ}^n\otimes {ℂ}^n\otimes \cdots \otimes {ℂ}^n$ con k fattori .

È possibile definire un'azione del gruppo simmetrico $S_k$ su questo spazio (a sinistra) permutando i fattori, ovvero

$\sigma (v_1\otimes v_2\otimes \cdots \otimes v_k)=v_{{\sigma }^{-1}(1)}\otimes v_{{\sigma }^{-1}(2)}\otimes \cdots \otimes v_{{\sigma }^{-1}(k)}.$

Al tempo stesso, anche il gruppo lineare generale $G{L}_n(ℂ)$ di matrici n × n invertibili può agire su tale spazio mediante la moltiplicazione di matrici (a sinistra), tale che

$g(v_1\otimes v_2\otimes \cdots \otimes v_k)=g{v}_1\otimes g{v}_2\otimes \cdots \otimes g{v}_k,g\in {\text{GL}}_n.$

Si può facilmente osservare che queste due azioni commutano fra loro e, concretamente, la dualità Schur-Weyl afferma che sotto l'azione congiunta dei gruppi $S_k$ e $G{L}_n(ℂ)$ lo spazio tensoriale si decompone nella somma diretta di prodotti tensoriali di moduli irriducibili (per questi due gruppi) che in realtà si determinano a vicenda,

${ℂ}^n\otimes {ℂ}^n\otimes \cdots \otimes {ℂ}^n=\underset{D}{⨁}{\pi }_k^D\otimes {\rho }_n^D.$

Gli addendi della somma diretta sono indicizzati sui diagrammi di Young D formati da k caselle e al più n righe. I moduli ${\pi }_k^D$ di $S_k$, che nella teoria sono chiamati rappresentazioni irriducibili, sono non isomorfi fra loro al variare di D, e ciò vale anche per le rappresentazioni irriducibili ${\rho }_n^D$ di $G{L}_n(ℂ)$ .

L'enunciato più formale della dualità di Schur-Weyl afferma che le due algebre di operatori su ${({ℂ}^n)}^{\otimes k}$ generate dalle azioni di $S_k$ e $G{L}_n(ℂ)$ si centralizzano l'un l'altra nell'algebra degli endomorfismi ${\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}}_{ℂ}({ℂ}^n\otimes {ℂ}^n\otimes \cdots \otimes {ℂ}^n).$

Esempio

Supponiamo che $k=2,n>1$. Per la dualità di Schur-Weyl, ricordando che le rappresentazioni irriducibili di $S_2$ sono la rappresentazione banale e la rappresentazione segno, lo spazio dei due tensori si decompone in potenza simmetrica e potenza esterna, ciascuna delle quali è un modulo irriducibile per $G{L}_n(ℂ)$:

${ℂ}^n\otimes {ℂ}^n=S^2{ℂ}^n\oplus {\mathrm{\Lambda }}^2{ℂ}^n.$

Il gruppo simmetrico S ₂ è infatti costituito da due elementi e ha due rappresentazioni irriducibili. La rappresentazione banale dà origine al prodotto simmetrico, i cui elementi sono invarianti (cioè non cambiano) per permutazione dei fattori, mentre la rappresentazione segno dà luogo al prodotto esterno, i cui elementi cambiano di segno se trasposti.

Dimostrazione

Innanzitutto si considerino le seguenti ipotesi:

• Sia G un gruppo finito ,
• $A=ℂ[G]$ l'algebra gruppo di G ,
• $U$ un A-modulo destro di dimensione finita
• $B={\mathrm{End}}_A(U)$, che agisce su U da sinistra e commuta con l'azione destra di A. In altre parole, $B$ è il centralizzatore di $A$ nell'anello di endomorfismi $\mathrm{End}(U)$ .

La dimostrazione utilizza due lemmi algebrici.

Lemma 1: Se $W$ è un $A$-modulo sinistro semplice, allora $U{\otimes }_{A}W$ è un $B$-modulo sinistro semplice.

Dimostrazione : U è semisemplice, dunque per il teorema di Maschke, esiste una decomposizione $U=\underset{i}{⨁}{U}_i^{\oplus m_i}$ in $A$-moduli semplici . Allora $U{\otimes }_{A}W=\underset{i}{⨁}(U_i{\otimes }_{A}W{)}^{\oplus m_i}$ . Se osserviamo $A$ come $A$-rappresentazione su sé stessa, mediante la rappresentazione regolare sinistra, sappiamo che ogni $A$-modulo semplice compare nella decomposizione di $A$, dunque abbiamo che $U_i{\otimes }_{A}W=ℂ$ se e solo se $U_i,W$ sono isomorfi allo stesso fattore semplice, mentre $U_i{\otimes }_{A}W=0$ altrimenti.

Di conseguenza si ha che $U{\otimes }_{A}W=(U_{i_0}{\otimes }_{A}W{)}^{\oplus m_{i_0}}={ℂ}^{\oplus m_{i_0}}$, in cui $U_{i_0}\cong W$ è un isomorfismo di $A$-moduli (semplici). Ora, ricordando che $B$ agisce a sinistra su $U$, è facile vedere che ogni vettore diverso da zero in ${ℂ}^{\oplus m_{i_0}}$ genera l'intero spazio se osserviamo $U{\otimes }_{A}W$ come $B$-modulo sinistro, dunque, è semplice. $◼$

Lemma 2: Sia $U=V^{\otimes d}$ e$G=S_n$ il gruppo simmetrico. Un sottospazio di $U$ è un $B$-sottomodulo sinistro se e solo se è invariante sotto l'azione sinistra di $GL(V)$; detto in altri termini, un $B$-sottomodulo di $U$ è un $GL(V)$-modulo.

Dimostrazione : Scegliamo $W:=\mathrm{End}(V)$ . È possibile immergere$W\hookrightarrow \mathrm{End}(U)$, mediante la relazione $w\mapsto w^d=d!w\otimes \cdots \otimes w$. Inoltre, si può verificare che l'immagine di $W$ genera il sottospazio dei tensori simmetrici ${\mathrm{Sym}}^d(W)$ . Dal momento che, per costruzione, $B=En{d}_{S_n}(V^{\otimes d})={\mathrm{Sym}}^d(W)$, l'immagine di $W$ genera $B$ . Dal momento che $\mathrm{GL}(V)$ è denso in $End(V)=W$ sia nella topologia euclidea che nella topologia di Zariski, segue l'asserzione. $◼$

Siamo pronti a mostrare la dualità Schur-Weyl.

Sia nuovamente $G=S_d$ il gruppo simmetrico, $U=V^{\otimes d}$ la d -esima potenza tensoriale di uno spazio vettoriale su $ℂ$ di dimensione finita.

Siano $V^{\lambda }$ i moduli Specht, ovvero le $S_d$-rappresentazioni irriducibili, indicizzati sulle partizioni $\lambda$ di d e sia $m_{\lambda }=\dim V_{\lambda }$.

Il Lemma 1 ci garantisce che

$S^{\lambda }(V):=V^{\otimes d}{\otimes }_{{𝔖}_d}{V}^{\lambda }$

è un $GL(V)$-modulo semplice. Inoltre, presa la decomposizione in rappresentazioni irriducibili per $A=\underset{\lambda }{⨁}(V_{\lambda }{)}^{⨁m_{\lambda }}$, si ha che:

$V^{\otimes d}=V^{\otimes d}{\otimes }_{A}A=\underset{\lambda }{⨁}(V^{\otimes d}{\otimes }_{S_d}{V}^{\lambda }{)}^{\oplus m_{\lambda }}$ ,

e questa è la decomposizione di $V^{\otimes d}$ come a $\mathrm{GL}(V)$ -modulo.

Generalizzazioni

L'algebra di Brauer prende il posto del gruppo simmetrico nella generalizzazione della dualità di Schur-Weyl per gruppi simplettici e ortogonali.

Ancora più in generale, l'algebra di partizione e le sue sottoalgebre generano ulteriori generalizzazioni della dualità di Schur-Weyl.

Argomenti Correlati

• Rappresentazione dei gruppi
• Gruppo Simmetrico
• Prodotto Tensoriale

Bibliografia

• Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representazion theory. A first course. Graduate Yexys in Mathematics, Redings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag.
• Roger Howe, Perspectives on invariant theory: Schur duality, multiplicity-free actions and beyond. The Schur lectures (1992) (Tel Aviv), 1–182, Israel Math. Conf. Proc., 8, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1995. Template:MathSciNet
• Issai Schur, Über eine Klasse von Matrizen, die sich einer gegebenen Matrix zuordnen lassen. Dissertation. Berlin. 76 S (1901) JMF 32.0165.04
• Issai Schur, Über die rationalen Darstellungen der allgemeinen linearen Gruppe. Sitzungsberichte Akad. Berlin 1927, 58–75 (1927) JMF 53.0108.05
• Hermann Weyl, The Classical Groups. Their Invariants and Representations. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1939. xii+302 pp. Template:MathSciNet