Doppio pendolo

File:Double-Pendulum.svg

Il doppio pendolo è costituito da due pendoli attaccati uno all'estremità dell'altro.

In fisica classica, in particolare in meccanica classica, il doppio pendolo è un sistema fisico costituito da due pendoli attaccati uno all'estremità dell'altro e liberi ciascuno di oscillare rispetto al loro punto di vincolo: il suo comportamento dinamico è fortemente sensibile a piccole variazioni delle condizioni iniziali e, per alcuni valori dell'energia, il suo moto risultante è caotico.

Analisi

Si possono considerare diverse varianti del doppio pendolo; i due bracci possono avere lunghezze e masse uguali o diverse, possono essere pendoli semplici o composti (detti anche pendoli complessi) e il moto può avvenire in tre dimensioni o limitato al solo piano verticale. Nella seguente analisi, i bracci sono considerati due pendoli composti identici di lunghezza $\ell$ e le masse $m$, e il moto è limitato ad un piano.

File:Double-compound-pendulum-dimensioned.svg

Doppio pendolo composto, formato da due bracci identici di lunghezza $\ell$ e massa $m$.

In un pendolo composto, la massa è distribuita su tutta la lunghezza. Se la massa è distribuita uniformemente, allora il centro di massa di ogni braccio si trova alla sua metà, ed il momento di inerzia rispetto a tale punto è $I=\frac{1}{12}m{\ell }^2$. Il momento di inerzia di una sbarra che ruota intorno ad uno dei suoi estremi è dato da $I=\frac{1}{3}m{\ell }^2$.

È utile usare l'angolo tra ciascuno dei bracci e l'asse verticale come coordinata generalizzata per definire lo spazio delle configurazioni; questi angoli sono indicati con θ₁ e θ₂. La posizione del centro di massa di ogni braccio può essere scritta in funzione di queste due coordinate; se si prende come origine di un sistema di riferimento cartesiano il punto di sospensione del primo pendolo, allora le coordinate del centro di massa di questo pendolo sono

$x_1=\frac{\ell }{2}\sin {\theta }_1,$

$y_1=-\frac{\ell }{2}\cos {\theta }_1,$

mentre per il secondo pendolo si ha

$x_2=\ell (\sin {\theta }_1+\frac{1}{2}\sin {\theta }_2),$

$y_2=-\ell (\cos {\theta }_1+\frac{1}{2}\cos {\theta }_2).$

Con queste informazioni si può scrivere la lagrangiana del sistema.

Lagrangiana

La lagrangiana è

$\begin{array}{cc}L& =\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}-\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{z}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{e}\\ & =\frac{1}{2}m(v_1^2+v_2^2)+\frac{1}{2}I({{\dot{\theta }}_1}^2+{{\dot{\theta }}_2}^2)-mg(y_1+y_2)\\ & =\frac{1}{2}m({{\dot{x}}_1}^2+{{\dot{y}}_1}^2+{{\dot{x}}_2}^2+{{\dot{y}}_2}^2)+\frac{1}{2}I({{\dot{\theta }}_1}^2+{{\dot{\theta }}_2}^2)-mg(y_1+y_2)\end{array}$

Il primo termine è l'energia cinetica di traslazione del centro di massa dei due bracci e il secondo è l'energia cinetica rotazionale intorno al centro di massa di ciascun braccio. Il terzo termine è l'energia potenziale gravitazionale assumendo una accelerazione costante $g$. La notazione $\dot{x}$ indica la derivata rispetto al tempo (notazione di Newton).

Sostituendo le coordinate definite sopra e riordinando le equazioni si trova

$L=\frac{1}{6}m{\ell }^2[{{\dot{\theta }}_2}^2+4{{\dot{\theta }}_1}^2+3{\dot{\theta }}_1{\dot{\theta }}_2\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)]+\frac{1}{2}mg\ell (3\cos {\theta }_1+\cos {\theta }_2).$

File:Double-compound-pendulum.gif

Moto di un doppio pendolo composto (calcolato con integrazione numerica delle equazioni del moto).

File:DPLE.jpg

Una luce all'estremità del doppio pendolo lascia una traccia del proprio movimento in questa foto a lunga esposizione. L'evoluzione caotica del sistema crea una figura complessa e apparentemente disordinata.

L'unica quantità conservata in questo sistema è l'energia, e non ci sono momenti generalizzati conservati. I due momenti possono essere scritti come

$p_{{\theta }_1}=\frac{\partial L}{\partial {\dot{\theta }}_1}=\frac{1}{6}m{\ell }^2[8{\dot{\theta }}_1+3{\dot{\theta }}_2\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)]$

e

$p_{{\theta }_2}=\frac{\partial L}{\partial {\dot{\theta }}_2}=\frac{1}{6}m{\ell }^2[2{\dot{\theta }}_2+3{\dot{\theta }}_1\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)].$

Invertendo queste espressioni si trova

${\dot{\theta }}_1=\frac{6}{m{\ell }^2}\frac{2p_{{\theta }_1}-3\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)p_{{\theta }_2}}{16-9{\cos }^2({\theta }_1-{\theta }_2)}$

e

${\dot{\theta }}_2=\frac{6}{m{\ell }^2}\frac{8p_{{\theta }_2}-3\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)p_{{\theta }_1}}{16-9{\cos }^2({\theta }_1-{\theta }_2)}.$

Le altre equazioni del moto sono

${\dot{p}}_{{\theta }_1}=\frac{\partial L}{\partial {\theta }_1}=-\frac{1}{2}m{\ell }^2[{\dot{\theta }}_1{\dot{\theta }}_2\sin ({\theta }_1-{\theta }_2)+3\frac{g}{\ell }\sin {\theta }_1]$

e

${\dot{p}}_{{\theta }_2}=\frac{\partial L}{\partial {\theta }_2}=-\frac{1}{2}m{\ell }^2[-{\dot{\theta }}_1{\dot{\theta }}_2\sin ({\theta }_1-{\theta }_2)+\frac{g}{\ell }\sin {\theta }_2].$

Queste ultime quattro equazioni sono formule esplicite per l'evoluzione temporale del sistema dato il suo stato attuale. Non è possibile integrare queste equazioni analiticamente e ottenere formule per θ₁ e θ₂ in funzione del tempoTemplate:Cn. Si può tuttavia usare un'integrazione numerica, ad esempio con i metodi di Runge-Kutta.

Moto caotico

File:Double pendulum flips graph.png

Grafico del tempo necessario perché il pendolo si capovolga, in funzione delle condizioni iniziali

Il doppio pendolo si muove con moto caotico, cioè la sua evoluzione è molto sensibile alle condizioni iniziali. L'immagine a destra mostra il tempo trascorso prima che il pendolo si capovolga, in funzione delle condizioni iniziali; il valore iniziale di θ₁ (direzione orizzontale nel grafico) va da −3 a 3, e θ₂ (direzione verticale nel grafico) va da −3 a 3. Il colore indica se uno dei due pendoli si capovolge entro $10\sqrt{\ell /g}$ (in verde), entro $100\sqrt{\ell /g}$ (rosso), $1000\sqrt{\ell /g}$ (viola) o $10000\sqrt{\ell /g}$ (blu). Le condizioni iniziali che non portano al capovolgimento entro $10000\sqrt{\ell /g}$ sono in bianco.

Il bordo della regione bianca è definito in parte dalla conservazione dell'energia secondo la curva

$3\cos {\theta }_1+\cos {\theta }_2=2.$

All'interno della regione definita da questa curva, cioè se

$3\cos {\theta }_1+\cos {\theta }_2>2,$

è energeticamente impossibile il capovolgimento per ciascun pendolo. Fuori da questa regione il pendolo può capovolgersi, ma è complicato determinare quando.

La mancanza di una frequenza di risonanza rende utile il doppio pendolo nel progetto di edifici antisismici. L'idea è di vedere l'intero edificio come un pendolo invertito, e di aggiungere una massa secondaria per completare il doppio pendolo. La massa secondaria è solitamente un grosso peso sospeso all'interno dell'edificio. Il grattacielo taiwanese Taipei 101, è dotato alla sua sommità di un mass damper di 660 tonnellate.

Bibliografia

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Collegamenti esterni

• Eric W. Weisstein, Double pendulum (2005), ScienceWorld (contains details of the complicated equations involved) and "Double Pendulum" by Rob Morris, Wolfram Demonstrations Project, 2007 (animations of those equations).
• Peter Lynch, Double Pendulum, (2001). (Java applet simulation.)
• Northwestern University, Double Pendulum Template:Webarchive, (Java applet simulation.)
• Theoretical High-Energy Astrophysics Group at UBC, Double pendulum, (2005).
• Animazioni e spiegazioni di Mike Wheatland (Univ. Sydney): [1], [2]
• Video di un doppio pendolo con tre condizioni iniziali (quasi) identiche.
• Simulazioni da www.myphysicslab.com
• Simulationi, equazioni e spiegazioni del Pendolo di Rott
• Video di confronto di un doppio pendolo con le stesse condizioni iniziali su YouTube
• Double Pendulum Simulator - Simulatore opensource scritto in C++ usando il Qt tookit.
• Vadas Gintautas, Alfred Hübler (2007). Experimental evidence for mixed reality states in an interreality system, Phys. Rev. E 75, 057201 Articolo che presenta dati da un esperimento in cui un pendolo reale e uno virtuale interagiscono.