Disuguaglianza di Popoviciu

In analisi matematica, la disuguaglianza di Popoviciu è una disuguaglianza riguardante le funzioni convesse. È simile alla disuguaglianza di Jensen e fu pubblicata nel 1965 dal matematico rumeno Tiberiu Popoviciu.

Enunciato

Sia ƒ una funzione da un intervallo $I\subseteq ℝ$ in $ℝ$. Se ƒ è convessa, allora per tre punti qualsiasi $x,y,z$ di $I$,

$\frac{f(x)+f(y)+f(z)}{3}+f\left(\frac{x+y+z}{3}\right)\ge \frac{2}{3}[f\left(\frac{x+y}{2}\right)+f\left(\frac{y+z}{2}\right)+f\left(\frac{z+x}{2}\right)].$

Viceversa, se ƒ è continua, allora è convessa se e solo se la disuguaglianza precedente vale per ogni x, y, z in $I$. Se ƒ è strettamente convessa, la disuguaglianza è stretta ad eccezione del caso x = y = z.

Vi sono delle generalizzazioni pesate di questa disuguaglianza, oppure con un qualsiasi numero finito di punti anziché 3.