Distribuzione logistica

Template:F Template:Variabile casuale In teoria delle probabilità la distribuzione logistica è una distribuzione di probabilità continua definita sui numeri reali e legata all'equazione logistica descritta dal matematico belga Pierre François Verhulst.

Viene utilizzata in molti degli ambiti che descrivono modelli di crescita tramite l'equazione logistica.

Definizione

La distribuzione logistica è una distribuzione di probabilità la cui funzione di ripartizione risolve l'equazione logistica

$F^{\prime }=\frac{1}{s}F(1-F),$

con $s>0.$

La distribuzione logistica di parametri $(s,\mu )$ ha funzione di ripartizione

$F(x)=\frac{1}{1+e^{-\frac{x-\mu }{s}}},$

e funzione di densità di probabilità

$f(x)=F^{\prime }(x)=\frac{e^{-\frac{x-\mu }{s}}}{s{(1+e^{-\frac{x-\mu }{s}})}^2}.$

Le due funzioni possono anche essere espresse in termini di funzioni iperboliche come

$f(x)=\frac{1}{4s}(\cosh \frac{x-\mu }{2s}{)}^{-2},$

$F(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\tanh \frac{x-\mu }{2s},$

dove $\cosh (t)=\frac{e^t+e^{-t}}{2}$ è il coseno iperbolico e $\tanh (t)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$ la tangente iperbolica.

Caratteristiche

La distribuzione logistica di parametri $(s,\mu )$ ha densità di probabilità simmetrica rispetto a $\mu$, dove assume il valore massimo. In particolare ha speranza matematica, mediana e moda pari a $\mu$, mentre il suo indice di asimmetria è $0.$

I quantili $q_{\alpha }$ di ordine $\alpha$ possono essere determinati tramite l'inversa della funzione di ripartizione,

$q_{\alpha }=F^{-1}(\alpha )=\mu +s\log \frac{\alpha }{1-\alpha }.$

La funzione $\log \frac{x}{1-x}$ è detta funzione logit.

I momenti centrali della distribuzione sono

$m_k=\underset{ℝ}{\int }(x-\mu {)}^{k}f(x)dx=\underset{ℝ}{\int }(x-\mu {)}^{k}dF(x)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(s\log \frac{t}{1-t})}^{k}dt=s^k{\pi }^k(2^k-2)|B_k|,$

dove $B_k$ è il $k$-esimo numero di Bernoulli.

In particolare la distribuzione ha varianza $\frac{{\pi }^2}{3}{s}^2$ e coefficiente di curtosi ${\gamma }_2=\frac{6}{5}.$

Altre distribuzioni

La distribuzione log-logistica (o loglogistica) è la distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria $X$ il cui logaritmo $\log X$ segua la distribuzione logistica.

Voci correlate

• Equazione logistica

Collegamenti esterni

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