Distribuzione di Maxwell-Jüttner

In fisica, e in particolare nella teoria della relatività, la distribuzione di Maxwell-Jüttner è la distribuzione delle velocità delle particelle in un gas ideale di particelle relativistiche. Simile alla distribuzione di Maxwell-Boltzmann, la distribuzione di Maxwell-Jüttner considera un gas ideale classico nel quale le particelle sono diluite e non interagiscono in modo significativo tra di loro. A differenza della distribuzione classica di Maxwell, però, si considerano anche gli effetti della relatività ristretta: per temperature T basse, ovvero molto inferiori a $m{c}^2/k$ (dove m indica la massa del tipo di particella che compone il gas, c la velocità della luce e k la costante di Boltzmann), queste due distribuzioni sono identiche.

La distribuzione viene attribuita a Ferencz Jüttner, che la ricavò nel 1911. È poi diventata nota come distribuzione di Maxwell-Jüttner in analogia con la distribuzione Maxwell-Boltzmann.

La funzione di distribuzione

Distribuzione di Maxwell-Jüttner per un gas a diverse temperature. La velocità è rappresentata in termini del fattore di Lorentz.

All'aumentare della temperatura del gas, quando il valore $kT$ si avvicina o supera la soglia $m{c}^2$, la distribuzione di probabilità per $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ in questo gas relativistico di Maxwell è data dalla distribuzione Maxwell-Jüttner:

$f(\gamma )=\frac{{\gamma }^2\beta }{\theta K_2(1/\theta )}\exp (-\frac{\gamma }{\theta })$

dove $\beta =\frac{v}{c}=\sqrt{1-1/{\gamma }^2},$ $\theta =\frac{kT}{m{c}^2},$ e $K_2$ è la funzione di Neumann.

In alternativa, si può riformulare in termini della quantità di moto:

$f(𝐩)=\frac{1}{4\pi m^3{c}^3\theta K_2(1/\theta )}\exp (-\frac{\gamma (p)}{\theta })$

dove $\gamma (p)=\sqrt{1+{\left(\frac{p}{mc}\right)}^2}$. L'equazione di Maxwell-Jüttner è covariante, ma non è Template:Abbr, e la temperatura del gas non varia con la velocità del gas.

Limiti

Alcuni dei limiti delle distribuzioni di Maxwell-Jüttner sono gli stessi del modello ideale di gas nella fisica classica: si trascurano le interazioni e gli effetti quantistici. Un'ulteriore limitazione, che invece non è importante nel gas ideale classico, è che la distribuzione di Maxwell-Jüttner non tiene conto delle antiparticelle.