Distanza di cerchio massimo

Template:U Per distanza di cerchio massimo si intende la distanza minima fra due punti posti su una superficie sferica, e coincide con l'arco di cerchio massimo che comprende i due punti. Questa distanza è anche detta ortodromia ed è la traiettoria percorsa dagli aeromobili, poiché implica un minor consumo di carburante e di tempo rispetto alla lossodromia.

Essa rappresenta il tragitto più breve ed ha la caratteristica di tagliare tutti i meridiani con angoli diversi, lungo un cerchio massimo.

Casi particolari sono gli archi di meridiano (angolo di taglio costante = 0°/180°) ed archi di parallelo (angolo di taglio costante = 90°/270°).

L'angolo che sottende questa distanza viene detto distanza angolare.

Esempio di un'ortodromia

È da notare che archi del parallelo equatoriale rappresentano casi particolari dell'ortodromia in quanto, anche non variando l'angolo di intersezione con i meridiani, la distanza tra i punti considerati (partenza ed arrivo) è la minima possibile. Poiché nel caso della navigazione (aerea o marittima) è conveniente, in generale (a meno di altre variabili quali correnti marine, venti in quota, ecc.), percorrere il tragitto più breve per collegare due punti, la rotta ortodromica è quella preferenziale. Una rotta di questo tipo è però soltanto ideale, in quanto non è pensabile che il mezzo in questione possa variare in modo continuo la direzione di navigazione (intesa come orientamento rispetto ai punti cardinali). La rotta reale è molto spesso una buona approssimazione della rotta ortodromica, realizzata tramite successive rotte lossodromiche parziali (spezzata).

Calcolo per via geometrica

Siano $P$ e $Q$ due punti su una superficie sferica di raggio $\rho$ in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale. Definite ${\varphi }_P$ e ${\varphi }_Q$ le longitudini dei due punti prese dall'asse $x$ verso la proiezione dei raggi $\overline{OP}$ e $\overline{OQ}$ sul piano $xy$, e ${\theta }_P$ e${\theta }_Q$ le latitudini dei due punti prese dal piano $xy$ verso i raggi $\overline{OP}$ e $\overline{OQ}$, le coordinate cartesiane dei due punti sono:

$\{\begin{array}{c}x=\rho \cos \theta \cos \varphi \\ y=\rho \cos \theta \sin \varphi \\ z=\rho \sin \theta \end{array}$

La distanza rettilinea (ovvero misurata lungo la retta che attraversa i due punti P e Q) fra i due punti è

${\overline{PQ}}^2=(x_P-x_Q{)}^2+(y_P-y_Q{)}^2+(z_p-z_q{)}^2=$

${\overline{PQ}}^2=(\rho \cos {\theta }_P\cos {\varphi }_P-\rho \cos {\theta }_Q\cos {\varphi }_Q{)}^2+(\rho \cos {\theta }_P\sin {\varphi }_P-\rho \cos {\theta }_Q\sin {\varphi }_Q{)}^2+(\rho \sin {\theta }_P-\rho \sin {\theta }_Q{)}^2$

sviluppando i calcoli: ${\overline{PQ}}^2=2{\rho }^2(1-\cos \mathrm{\Delta }\varphi \cos {\theta }_P\cos {\theta }_Q-\sin {\theta }_P\sin {\theta }_Q)$, dove $\mathrm{\Delta }\varphi ={\varphi }_Q-{\varphi }_P$

Considerando il triangolo $POQ$, per trovare la lunghezza dell'arco di cerchio massimo che va da $P$ a $Q$ bisogna trovare l'ampiezza dell'angolo $\gamma$ compreso fra i due raggi $\overline{OP}$ e $\overline{OQ}$ e moltiplicarla poi per il raggio $\rho$. Denominato quest'angolo $\gamma$ risulta quindi che $d(P,Q)=\rho \gamma$. Applicando la Legge del coseno, o Teorema di Carnot, al triangolo $POQ$:

${\overline{PQ}}^2={\overline{OP}}^2+{\overline{OQ}}^2-2\overline{OP}\cdot \overline{OQ}\cos \gamma$

e quindi

${\overline{PQ}}^2={\rho }^2+{\rho }^2-2\rho \rho \cos \gamma =2{\rho }^2-2{\rho }^2\cos \gamma$

${\overline{PQ}}^2=2{\rho }^2(1-\cos \gamma )$

Si eguagliano i due valori di ${\overline{PQ}}^2$ che abbiamo trovato:

$2{\rho }^2(1-\cos \mathrm{\Delta }\varphi \cos {\theta }_P\cos {\theta }_Q-\sin {\theta }_P\sin {\theta }_Q)=2{\rho }^2(1-\cos \gamma )$

sviluppando i calcoli risulta che

$\gamma =\arccos (\cos \mathrm{\Delta }\varphi \cos {\theta }_P\cos {\theta }_Q+\sin {\theta }_P\sin {\theta }_Q)$

Esprimendolo in modo più esplicito in termini di LATitudine e LONGitudine diventa:

$\gamma =\arccos (\cos (LON2-LON1)\cos LA{T}_P\cos LA{T}_Q+\sin LA{T}_P\sin LA{T}_Q))$

Se anziché in termini di latitudine e longitudine le coordinate di P e Q sono espresse in termini di declinazione e ascensione retta, la formula diventa:

$\gamma =\arccos (\cos (RA2-RA1)\cos De{c}_P\cos De{c}_Q+\sin De{c}_P\sin De{c}_Q))$

Questa quantità è detta distanza angolare tra due punti sulla superficie di una sfera. Moltiplicando, come detto inizialmente, questo angolo per il raggio della sfera, si ottiene la lunghezza dell'arco passante per i due punti P e Q:

$d(P,Q)=\rho \arccos (\cos \mathrm{\Delta }\varphi \cos {\theta }_P\cos {\theta }_Q+\sin {\theta }_P\sin {\theta }_Q)$

Calcolo per via vettoriale

La distanza fra due punti su una sfera può essere calcolata anche tramite i vettori: consideriamo infatti i due punti $P$ e $Q$ come vettori espressi dalle matrici

$\overrightarrow{P}=\left[\begin{array}{c}\rho \cos {\theta }_P\cos {\varphi }_P\\ \rho \cos {\theta }_P\sin {\varphi }_P\\ \rho \sin {\theta }_P\end{array}\right]\text{ e }\overrightarrow{Q}=\left[\begin{array}{c}\rho \cos {\theta }_Q\cos {\varphi }_Q\\ \rho \cos {\theta }_Q\sin {\varphi }_Q\\ \rho \sin {\theta }_Q\end{array}\right]$

Eseguendo il prodotto scalare fra $\overrightarrow{P}$ e $\overrightarrow{Q}$ risulta che $\overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{Q}=\left|P\right|\left|Q\right|\cos \epsilon$ (dove $\epsilon$ è sempre l'angolo compreso fra i due vettori):

$\left[\begin{array}{c}\rho \cos {\theta }_P\cos {\varphi }_P\\ \rho \cos {\theta }_P\sin {\varphi }_P\\ \rho \sin {\theta }_P\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\rho \cos {\theta }_Q\cos {\varphi }_Q& \rho \cos {\theta }_Q\sin {\varphi }_Q& \rho \sin {\theta }_Q\end{array}\right]={\rho }^2\cos \gamma$

Sviluppando i calcoli

$\gamma =\arccos (\cos \mathrm{\Delta }\varphi \cos {\theta }_P\cos {\theta }_Q+\sin {\theta }_P\sin {\theta }_Q)$

E quindi la distanza minima tra i due punti è

$d(P,Q)=\rho \arccos (\cos \mathrm{\Delta }\varphi \cos {\theta }_P\cos {\theta }_Q+\sin {\theta }_P\sin {\theta }_Q)$

Voci correlate

• Geometria sferica
• Cerchio massimo
• Geodetica
• Arco di circonferenza
• Lossodromia
• Corrente a getto

Collegamenti esterni

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