Disequazione con il valore assoluto

Il grafico della funzione valore assoluto

In matematica una disequazione con valore assoluto è una disequazione del tipo $|f(x)|⋛g(x)$, dove:

• $f$ e $g$ sono due funzioni qualsiasi.

Caso particolare: $g(x)$ funzione costante

Consideriamo prima di tutto il caso in cui $g(x)=k\in ℝ$ . Si ha pertanto $|f(x)|⋛k$.

Le disequazioni di questo tipo si possono risolvere in maniera meccanica a seconda del valore di $k$, sfruttando il fatto che il valore assoluto di un numero è sempre maggiore o uguale a $0$.

k < 0

• $|f(x)|\le k$

Non può mai capitare che il primo membro sia minore o uguale a un numero negativo. La disequazione è impossibile.

• $|f(x)|<k$

Non può mai capitare che il primo membro sia minore di un numero negativo. La disequazione è impossibile.

• $|f(x)|\ge k$

Il primo membro (nei punti dove è definito) è sempre maggiore o uguale di un numero negativo.

La soluzione è $\mathrm{\forall }x\in D$, dove $D$ è il dominio di $f$.

• $|f(x)|>k$

Il primo membro (nei punti dove è definito) è sempre maggiore di un numero negativo.

La soluzione è $\mathrm{\forall }x\in D$, dove $D$ è il dominio di $f$.

k = 0

• $|f(x)|<0$

Il primo membro non potrà mai essere minore di zero. La disequazione è impossibile.

• $|f(x)|\le 0$

Le uniche soluzioni sono quelle che rendono il primo membro uguale a zero, quindi risolvere questa disequazione è equivalente a risolvere l'equazione $f(x)=0$.

• $|f(x)|>0$

Vanno bene tutti i valori tranne quelli che rendono nulla $f(x)$. Pertanto in questo caso bisogna risolvere $f(x)\ne 0$.

• $|f(x)|\ge 0$

Qualunque elemento del dominio è accettato: la soluzione è $\mathrm{\forall }x\in D$, sempre con $D$ dominio di $f$.

k > 0

In questo caso ci si riporta a disequazioni senza valore assoluto:

• $|f(x)|<k$

È equivalente a $-k<f(x)<k$, cioè al sistema $\{\begin{array}{c}f(x)>-k\\ f(x)<k\end{array}$

• $|f(x)|\le k$

È equivalente a $-k\le f(x)\le k$, cioè al sistema $\{\begin{array}{c}f(x)\ge -k\\ f(x)\le k\end{array}$

• $|f(x)|>k$

È equivalente a $f(x)<-k\vee f(x)>k$

• $|f(x)|\ge k$

È equivalente a $f(x)\le -k\vee f(x)\ge k$

Caso generale

In questo caso sia a primo membro che al secondo ci sono due funzioni di $x$, e il metodo risolutivo dipende dal segno di disuguaglianza presente tra di esse.

|f(x)| < g(x)

La disequazione è equivalente a $\{\begin{array}{c}f(x)\ge 0\\ f(x)<g(x)\end{array}\vee \{\begin{array}{c}f(x)<0\\ f(x)>-g(x)\end{array}$

o, in alternativa, a $-g(x)<f(x)<g(x)$

|f(x)| ≤ g(x)

La disequazione è equivalente a $\{\begin{array}{c}f(x)\ge 0\\ f(x)\le g(x)\end{array}\vee \{\begin{array}{c}f(x)<0\\ f(x)\ge -g(x)\end{array}$

o, in alternativa, a $-g(x)\le f(x)\le g(x)$

|f(x)| > g(x)

La disequazione è equivalente a $\{\begin{array}{c}f(x)\ge 0\\ f(x)>g(x)\end{array}\vee \{\begin{array}{c}f(x)<0\\ f(x)<-g(x)\end{array}$

o, in alternativa, a $f(x)<-g(x)\vee f(x)>g(x)$

|f(x)| ≥ g(x)

La disequazione è equivalente a $\{\begin{array}{c}f(x)\ge 0\\ f(x)\ge g(x)\end{array}\vee \{\begin{array}{c}f(x)<0\\ f(x)\le -g(x)\end{array}$

o, in alternativa, a $f(x)\le -g(x)\vee f(x)\ge g(x)$

Presenza di più valori assoluti

$|x-1|+|2x+3|<2$

Nel caso siano presenti due o più valori assoluti è necessario aprire i valori assoluti secondo la definizione:

$\left|a\right|=\{\begin{array}{cc}a& a\ge 0\\ -a& a<0\end{array}$

Quindi nell'esercizio proposto i due valori assoluti diventano:

$|x-1|=\{\begin{array}{cc}x-1& x\ge 1\\ -(x-1)& x<1\end{array}$

e $|2x+3|=\{\begin{array}{cc}2x+3& x\ge -\frac{3}{2}\\ -(2x+3)& x<-\frac{3}{2}\end{array}$

Si individuano pertanto gli intervalli dell'asse reale in cui gli argomenti dei valori assoluti mantengono il loro segno. In questo caso ci sono tre intervalli e in tali intervalli i valori assoluti vengono aperti:

$\{\begin{array}{c}x<-\frac{3}{2}\\ -(x-1)-(2x+3)<2\end{array}\vee \{\begin{array}{c}-\frac{3}{2}\le x<1\\ -(x-1)+(2x+3)<2\end{array}\vee \{\begin{array}{c}x\ge 1\\ (x-1)+(2x+3)<2\end{array}$

Le soluzioni dei tre sistemi vanno unite nell'insieme di soluzione della disequazione data in partenza.

Bibliografia

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Voci correlate

• Valore assoluto
• Disequazione algebrica