Dimostrazione che 22/7 è maggiore di π

Le dimostrazioni del famoso risultato matematico che il numero razionale $22/7$ è maggiore di π (pi greco) risalgono fino all'antichità. Una di queste dimostrazioni, recentemente sviluppata e che richiede solo conoscenze elementari dell'analisi, ha attirato l'attenzione dei matematici moderni per la sua eleganza matematica e la sua connessione alla teoria delle approssimazioni diofantee. Stephen Lucas definì questa dimostrazione «uno dei più bei risultati sull'approssimazione di $\pi$». Julian Havil concluse una discussione sulle approssimazioni della frazione continua di $\pi$ con questa disuguaglianza, affermando che fosse «impossibile resistere dal menzionarla» in quel contesto.

Lo scopo principale della dimostrazione non è quello di convincere i lettore che $22/7$ è effettivamente maggiore di $\pi$; esistono infatti dei metodi sistematici per calcolare il valore di $\pi$. Se si sa che $\pi$ è approssimativamente $3,14159$, allora segue banalmente che $\pi <22/7$, il quale è circa $3,142857$. Tuttavia è più semplice dimostrare che $\pi <22/7$ utilizzando il metodo di questa dimostrazione invece di mostrare che $\pi$ è approssimativamente $3,14159$.

Storia

$22/7$ è una approssimazione diofantea di $\pi$ largamente usata. È un troncamento dello sviluppo in frazione continua semplice di $\pi$, ed è maggiore di quest'ultimo, come si può chiaramente notare dagli sviluppi decimali dei due valori:

$\begin{array}{cc}\frac{22}{7}& =3,\overline{142857},\\ \pi & =3,14159265\dots \end{array}$

L'approssimazione è nota fin dall'antichità. Archimede scrisse nel III secolo a.C. la prima dimostrazione conosciuta che $22/7$ è una sovrastima, sebbene probabilmente non fosse il primo a utilizzare tale approssimazione. La sua dimostrazione procede mostrando che $22/7$ è maggiore del rapporto tra il perimetro di un poligono regolare circoscritto di 96 lati e il diametro del cerchio. Un'altra approssimazione razionale di $\pi$ e ancora più accurata è 355/113.

Dimostrazione

La dimostrazione può essere espressa succintamente come:

$0<\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^4{(1-x)}^4}{1+x^2}dx=\frac{22}{7}-\pi .$

perciò, $\frac{22}{7}>\pi$.

Il calcolo di questo integrale fu il primo problema nella Putnam Competition del 1968.

Dettagli sul calcolo dell'integrale

Che l'integrale è positivo segue dal fatto che l'integrando è non negativo, essendo un rapporto fra somme e prodotti di potenze di numeri reali non negativi. Inoltre, si può verificare che è strettamente positivo in almeno un punto dell'intervallo di integrazione, ad esempio $1/2$. Poiché l'integrando è continuo in tale punto e non è negativo altrove, l'integrale da $0$ a $1$ deve essere strettamente positivo.

Rimane da dimostrare che il valore dell'integrale è la quantità desiderata:

$\begin{array}{cc}0& <\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^4{(1-x)}^4}{1+x^2}dx\\ & =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^4-4x^5+6x^6-4x^7+x^8}{1+x^2}dx& \text{espansione dei termini del numeratore}\\ & =\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4-\frac{4}{1+x^2})dx& \text{ utilizzando la divisione fra polinomi}& \\ & ={(\frac{x^7}{7}-\frac{2x^6}{3}+x^5-\frac{4x^3}{3}+4x-4\arctan x)|}_0^1& \text{integrale definito}\\ & =\frac{1}{7}-\frac{2}{3}+1-\frac{4}{3}+4-\pi & \text{con }\arctan (1)=\frac{\pi }{4}\text{ e }\arctan (0)=0\\ & =\frac{22}{7}-\pi .& \text{somma delle varie frazioni}\end{array}$

Semplici stime superiori e inferiori

In Dalzell (1944), si osserva che sostituendo $1$ al posto di $x$ nel denominatore, si ottiene un limite inferiore dell'integrale, e invece sostituendo $0$ una sua stima superiore:

$\frac{1}{1260}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^4{(1-x)}^4}{2}dx<\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^4{(1-x)}^4}{1+x^2}dx<\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^4{(1-x)}^4}{1}dx=\frac{1}{630}.$

Quindi si ottiene

$\frac{22}{7}-\frac{1}{630}<\pi <\frac{22}{7}-\frac{1}{1260},$

perciò in espansione decimale $3,1412<\pi <3,1421$. Le stime differiscono da $\pi$ meno del 0.015%. Vedere anche Dalzell (1971).

Dimostrazione che 355/113 è maggiore di π

Come discusso in Lucas (2005), la ben conosciuta e migliore approssimazione diofantea 355/113 per $\pi$ segue in modo analogo dalla seguente relazione

$0<\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^8{(1-x)}^8(25+816x^2)}{3164(1+x^2)}dx=\frac{355}{113}-\pi .$

Si noti che

$\frac{355}{113}=3,14159292\dots ,$

dove le prime sei cifre decimali coincidono con quelle di $\pi$. Sostituendo $1$ nella $x$ al denominatore, si ottiene il limite inferiore

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^8{(1-x)}^8(25+816x^2)}{6328}dx=\frac{911}{5261111856}=0,000000173\dots ,$

mentre sostituendo $0$ se ne ottiene il doppio come stima superiore, quindi

$\frac{355}{113}-\frac{911}{2630555928}<\pi <\frac{355}{113}-\frac{911}{5261111856}.$

In espansione decimale, questo significa che 3,141 592 57 < $\pi$ < 3,141 592 74, dove le cifre in grassetto sono le stesse di $\pi$.

Estensioni

Si possono generalizzare le idee precedenti per ottenere approssimazioni sempre migliori di $\pi$; vedere anche Backhouse (1995) e Lucas (2005) (in entrambi i riferimenti, tuttavia, non compaiono i calcoli). Per i calcoli espliciti, si consideri, per ogni intero $n\ge 1$,

$\frac{1}{2^{2n-1}}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{4n}{(1-x)}^{4n}dx<\frac{1}{2^{2n-2}}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^{4n}{(1-x)}^{4n}}{1+x^2}dx<\frac{1}{2^{2n-2}}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{4n}{(1-x)}^{4n}dx,$

dove l'integrale centrale vale

$\begin{array}{cc}& \frac{1}{2^{2n-2}}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^{4n}{(1-x)}^{4n}}{1+x^2}dx\\ & =\sum _{j=0}^{2n-1}\frac{{(-1)}^j}{2^{2n-j-2}(8n-j-1)(\genfrac{}{}{0ex}{}{8n-j-2}{4n+j})}+{(-1)}^n(\pi -4\sum _{j=0}^{3n-1}\frac{{(-1)}^j}{2j+1})\end{array}$

in cui compare $\pi$. L'ultima somma appare anche nella formula di Leibniz per π. La stima dell'errore è dato da

$\begin{array}{cc}\frac{1}{2^{2n-1}}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{4n}{(1-x)}^{4n}dx& =\frac{1}{2^{2n-1}(8n+1)(\genfrac{}{}{0ex}{}{8n}{4n})}\\ & \sim \frac{\sqrt{\pi n}}{2^{10n-2}(8n+1)},\end{array}$

dove l'approssimazione (la $\sim$ indica che sono asintoticamente equivalenti per $n\to \mathrm{\infty }$) del coefficiente binomiale centrale segue dall'approssimazione di Stirling e mostra la convergenza rapida dell'integrale a $\pi$.

I risultati per $n=1$ sono stati dati precedentemente. Per $n=2$ si ottiene

$\frac{1}{4}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^8{(1-x)}^8}{1+x^2}dx=\pi -\frac{47171}{15015}$

e

$\frac{1}{8}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^8{(1-x)}^{8}dx=\frac{1}{1750320},$

quindi 3,141 592 31 < $\pi$ < 3,141 592 89, dove le cifre in grassetto sono quelle di $\pi$. In modo simile, per $n=3$

$\frac{1}{16}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^{12}{(1-x)}^{12}}{1+x^2}dx=\frac{431302721}{137287920}-\pi$

e stima dell'errore

$\frac{1}{32}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{12}{(1-x)}^{12}dx=\frac{1}{2163324800},$

perciò 3,141 592 653 40 < $\pi$ < 3,141 592 653 87. Proseguendo con $n=4$,

$\frac{1}{64}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^{16}{(1-x)}^{16}}{1+x^2}dx=\pi -\frac{741269838109}{235953517800}$

con

$\frac{1}{128}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{16}{(1-x)}^{16}dx=\frac{1}{2538963567360},$

da cui si ricava 3,141 592 653 589 55 < $\pi$ < 3,141 592 653 589 96.

Voci correlate

• Calcolo di π
• Teorema di Lindemann-Weierstrass (dimostrazione che $\pi$ è trascendente)
• Dimostrazione della irrazionalità di π

Collegamenti esterni

• The problems of the 1968 Putnam competition, con questa dimostrazione indicata come quesito A1
• The Life of Pi Template:Webarchive di Jonathan Borwein; vedere pagina 5 per l'integrale.