Dimensione topologica

In matematica, la dimensione topologica o di Lebesgue è una nozione di dimensione che si applica a qualsiasi spazio topologico.

Come la dimensione di Hausdorff, la dimensione topologica dello spazio euclideo ${ℝ}^n$ è $n$. Le due nozioni di dimensione però differiscono per spazi più complicati, come i frattali.

Definizione

Sia $X$ uno spazio topologico. Un ricoprimento aperto $\{U_i\}$ di $X$ è una collezione di aperti $U_i$ di $X$ la cui unione è tutto $X$. Un suo raffinamento è un altro ricoprimento aperto $\{V_j\}$ tale che ogni $V_j$ è contenuto in almeno un $U_i$.

La dimensione topologica di $X$ è il più piccolo intero $n$ per cui ogni ricoprimento aperto di $X$ ha un raffinamento in cui ogni punto è contenuto in al più $n+1$ insiemi.

Esempi

Retta reale

Sia $\{U_i\}$ un ricoprimento arbitrario della retta reale $ℝ$. Ciascun $U_i$ è un aperto ed è quindi unione di intervalli aperti. Si può sempre trovare un raffinamento $V_j$ fatto solo di intervalli aperti. Si può inoltre raffinare ulteriormente questo ricoprimento e fare in modo che questi intervalli si sovrappongano meno possibile, e cioè che tre intervalli non si intersechino mai. Da questa costruzione segue che la retta ha dimensione minore o uguale a $1.$ D'altra parte, la retta è connessa e quindi non può essere descritta come unione disgiunta di piccoli intervalli: non ha cioè dimensione zero. La retta ha quindi dimensione topologica $1.$

Spazi euclidei

Più in generale, lo spazio ${ℝ}^n$ ha dimensione topologica $n$. La nozioni di dimensione di Hamel, topologica e di Hausdorff quindi coincidono per gli spazi vettoriali reali.

Grafi

Un grafo avente un numero finito di vertici e spigoli ha dimensione topologica $1.$

Frattali

Una approssimanzione della spugna di Menger, un frattale avente dimensione topologica uno.

L'insieme di Cantor ha dimensione topologica zero. Ha però dimensione di Hausdorff positiva, pari a $\ln 2/\ln 3$.

La spugna di Menger ha dimensione topologica uno. La spugna è una curva universale: ogni spazio metrico compatto di dimensione topologica 1 è contenuto in essa.

Bibliografia

• Karl Menger, General Spaces and Cartesian Spaces, (1926) Communications to the Amsterdam Academy of Sciences. English translation reprinted in Classics on Fractals, Gerald A.Edgar, editor, Addison-Wesley (1993) ISBN 0-201-58701-7
• Karl Menger, Dimensionstheorie, (1928) B.G Teubner Publishers, Leipzig.
• A. R. Pears, Dimension Theory of General Spaces, (1975) Cambridge University Press. ISBN 0-521-20515-8
• V.V. Fedorchuk, The Fundamentals of Dimension Theory, appearing in Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volume 17, General Topology I, (1993) A. V. Arkhangel'skii and L. S. Pontryagin (Eds.), Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-18178-4.

Voci correlate

• Dimensione di Hausdorff