Diffusività di materia

Nel fenomeno fisico della diffusione molecolare, la diffusività di materia è il potenziale scalare della velocità delle particelle nel mezzo all'interno del quale esse si trovano.

Definizione

La diffusività è definita come l'opposto dell'antigradiente della velocità (è cioè legata alla velocità come l'energia potenziale è legata alla forza)

${𝒟}_m(x,y,z)=-{\mathrm{\nabla }}^{-1}𝐯(x,y,z)$

Come tutte le diffusività, ha le dimensioni di $[L^2\cdot T^{-1}]$.

Nel caso di moto browniano il campo di velocità è isotropo, cioè la particella tende a muoversi senza direzioni preferenziali ovunque si trovi. Se la velocità è uniforme il coefficiente di diffusione diventa una costante nelle coordinate spaziali:

${\mathrm{\nabla }}^2{𝒟}_m=0,$

questa condizione viene rappresentata da un'equazione di Laplace: la diffusività è armonica.

Proprietà

La diffusività risulta sperimentalmente:

• direttamente proporzionale alla energia cinetica della particella;
• inversamente proporzionale all'ingombro della particella (e quindi al suo raggio);
• inversamente proporzionale alla viscosità del mezzo.

Per tenere conto di queste e altre proprietà si utilizza come modello la relazione di Stokes-Einstein:

${𝒟}_m=\frac{k\cdot T}{6\pi \cdot r\cdot \mu }$

dove:

• k = costante di Boltzmann;
• T = temperatura assoluta;
• r = raggio della particella;
• μ = viscosità del mezzo, dalle dimensioni di $[M\cdot L^{-1}\cdot T^{-1}]$.

Applicazione

La diffusività materiale viene introdotta per comodità nel calcolo della corrente diffusa:

$J=-{𝒟}_m\cdot \frac{\mathrm{\Delta }C}{\mathrm{\Delta }x}$

dove ΔC è la differenza di concentrazione e Δx è la lunghezza del tratto che si considera.

ΔC/Δx corrisponde nella versione esatta al gradiente spaziale della concentrazione.

Dipendenza dalla temperatura e dalla densità

Dipendenza dalla temperatura

Con margini di errore generalmente accettabili vale la relazione:

${𝒟}_m={𝒟}_{m0}\cdot e^{-\frac{\mathrm{\Delta }{E}^{‡}}{R\cdot T}},$

dove:

• ${𝒟}_m$ è il coefficiente di diffusione di materia;
• ${𝒟}_{m0}$ è il coefficiente massimo di diffusione (a temperatura infinita);
• $\mathrm{\Delta }{E}^{‡}$ è l'energia di attivazione per la diffusione;
• $T$ è la temperatura assoluta;
• $R$ è la costante dei gas.

Un'equazione in questa forma è conosciuta come equazione di Arrhenius.

Dipendenza dalla densità

Tipicamente la diffusione è inversamente proporzionale alla densità massica: nell'aria è 10.000 volte più grande che nell'acqua; per esempio il diossido di carbonio in aria ha un coefficiente pari a 16 mm²/s, mentre in acqua è pari a 0,0016 mm²/s.

Stima della diffusività di materia

Il calcolo della diffusività di materia può essere effettuato utilizzando equazioni teoriche, correlazioni empiriche o analogie, che vengono scelte in base al sistema in studio.

Teoria di Chapman-Enskog

Il coefficiente di diffusione può essere ricavato con l'approssimazione di Chapman-Enskog, valida nel caso di gas monoatomici in condizioni di bassa densità.

Dall'applicazione di tale teoria discende che:

${𝒟}_m=f_0\frac{\sqrt{T(\frac{1}{M_A}+\frac{1}{M_B})}}{C{\sigma }_{AB}^2{\omega }_{𝒟}}$

dove:

• $f_0=2,2646\cdot 10^{15}$ s^-1 K^-1/2 è una costante
• $𝒟$ è il coefficiente di diffusione
• T è la temperatura
• M_A e M_B sono le masse molecolari delle specie
• C è la concentrazione
• ${\sigma }_{AB}$ è il diametro di collisione
• ${\omega }_{𝒟}$ è un numero adimensionale che dipende dalla temperatura e da altri fattori, ricavabile da alcune tabelle ottenute per via sperimentale.

Analogia di Chilton-Colburn

L'analogia di Chilton-Colburn esprime un legame tra le grandezze fisiche che regolano il trasferimento di materia e le grandezze fisiche che regolano il trasferimento di calore. Questa relazione può essere utilizzata per stimare il coefficiente di scambio di materia facendo riferimento a un sistema in cui si abbia trasferimento di massa.

L'analogia di Chilton-Colburn si può scrivere nella forma:

$\frac{k}{h}=\frac{{𝒟}^{2/3}}{{\lambda }^{2/3}}(\rho c_p{)}^{-1/3}$

essendo:

• $h$: coefficiente di scambio termico
• $\lambda$: conducibilità termica
• $\rho$: densità
• $c_p$: calore specifico a pressione costante.

Bibliografia

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Voci correlate

• Scambio di materia
• Coefficiente di scambio di materia
• Mobilità elettrica
• Leggi di Fick
• Legge di Soret
• Diffusività termica
• Diffusività cinematica
• Diffusività magnetica
• Teoria della penetrazione
• Teoria del film (fenomeni di trasporto)