Differenze divise

Template:W In matematica, una differenza divisa è una quantità, definita in modo ricorsivo su punti distinti. Vengono utilizzate ad esempio nell'interpolazione polinomiale, nei metodi di interpolazione di Newton alle differenze divise e interpolazione di Hermite.

Definizione

Dati $k+1$punti

$(x_0,y_0),\dots ,(x_k,y_k).$

Definiamo le differenze divise come:

$[y_{\nu }]:=y_{\nu },\nu \in \{0,\dots ,k\},$

$[y_{\nu },\dots ,y_{\nu +j}]:=\frac{[y_{\nu +1},\dots ,y_{\nu +j}]-[y_{\nu },\dots ,y_{\nu +j-1}]}{x_{\nu +j}-x_{\nu }},\nu \in \{0,\dots ,k-j\},j\in \{1,\dots ,k\}.$

Definiamo le differenze divise all'indietro come:

$[y_{\nu }]:=y_{\nu },\nu \in \{0,\dots ,k\}$

$[y_{\nu },\dots ,y_{\nu -j}]:=\frac{[y_{\nu },\dots ,y_{\nu -j+1}]-[y_{\nu -1},\dots ,y_{\nu -j}]}{x_{\nu }-x_{\nu -j}},\nu \in \{j,\dots ,k\},j\in \{1,\dots ,k\}.$

dove $j$ è l'ordine della differenza divisa.

Notazione, differenze divise sui punti di una funzione

Se i punti $\{x_0,x_1,\dots ,x_k\}$ vengono dati come valori di una funzione $f$:

$(x_0,f(x_0)),\dots ,(x_k,f(x_k)),$

si può trovare la notazione

$f[x_{\nu }]:=f(x_{\nu }),\nu \in \{0,\dots ,k\},$

$f[x_{\nu },\dots ,x_{\nu +j}]:=\frac{f[x_{\nu +1},\dots ,x_{\nu +j}]-f[x_{\nu },\dots ,x_{\nu +j-1}]}{x_{\nu +j}-x_{\nu }},\nu \in \{0,\dots ,k-j\},j\in \{1,\dots ,k\}.$

Altre scritture equivalenti sono:

$[x_0,\dots ,x_n]f;$

$f_n[x_0,\dots ,x_n];$

$[x_0,\dots ,x_n;f];$

$D[x_0,\dots ,x_n]f.$

Rapporto con le derivate di f(x)

Quando due argomenti risultano coincidenti possiamo ugualmente dare un significato alla corrispondente differenza divisa di ordine $1$, purché $f^{\prime }(x)$ esista in quel punto:

$f[x_0,x_0]=\underset{x\to x_0}{\lim }f[x_0,x]=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f^{\prime }(x_0).$

Più in generale, definiamo

$f[\underset{k+1}{\underbrace{x_0,x_0,\dots ,x_0}}]=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!},$

la cui esistenza è dimostrabile.

Esempi

Differenze divise per $\nu =0$ e i primi valori di $j$:

$\begin{array}{cc}[y_0]& =y_0;\\ [y_0,y_1]& =\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0};\\ [y_0,y_1,y_2]& =\frac{[y_1,y_2]-[y_0,y_1]}{x_2-x_0}=\frac{\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}-\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}}{x_2-x_0}=\frac{y_2-y_1}{(x_2-x_1)(x_2-x_0)}-\frac{y_1-y_0}{(x_1-x_0)(x_2-x_0)};\\ [y_0,y_1,y_2,y_3]& =\frac{[y_1,y_2,y_3]-[y_0,y_1,y_2]}{x_3-x_0}.\end{array}$

Per evidenziare il processo ricorsivo, le differenze divise possono essere messe in forma tabellare

$\begin{array}{ccccc}{x}_0& y_0=[y_0]& & & \\ & & [y_0,y_1]& & \\ x_1& y_1=[y_1]& & [y_0,y_1,y_2]& \\ & & [y_1,y_2]& & [y_0,y_1,y_2,y_3]\\ x_2& y_2=[y_2]& & [y_1,y_2,y_3]& \\ & & [y_2,y_3]& & \\ x_3& y_3=[y_3]& & & \end{array}$

Rapporto incrementale

Template:Vedi anche Data una funzione $f$, presi due punti $(x_0,f(x_0)),(x_1,f(x_1))$, la differenza divisa di ordine $1$:

$A_1=f[x_0,x_1]=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}=\frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }x}$

è il rapporto incrementale costruito su due punti per la quantità $h=x_1-x_0$.

Invarianza per permutazione

Template:Vedi anche Per induzione matematica, non è difficile dimostrare che

$f[x_0,x_1,\dots ,x_n]=\sum _{k=0}^n\frac{f(x_k)}{\prod _{j=0,j\ne k}^n(x_k-x_j)}.$

Questa espressione ci permette di affermare che $f[x_0,x_1,\dots ,x_n]$ è una funzione invariante a permutazione dei suoi argomenti, cioè

$f[x_0,x_1,\dots ,x_n]=f[x_{i_0},x_{i_1},\dots ,x_{i_n}],$

dove $(i_0,i_1,\dots ,i_n)$ denota una qualsiasi permutazione di $(0,1,\dots ,n)$.

Bibliografia

• Template:Cita libro

Voci correlate

• Interpolazione polinomiale
• Interpolazione di HermiteTemplate:Div col end