Densità spettrale di potenza

Template:Controlcopy In teoria dei segnali, dato un generico segnale di potenza $x(t)\in {ℂ}^1$ con trasformata di Fourier $X(f)$ e valore di potenza ${𝒫}_x$, si definisce densità spettrale di potenza (o anche spettro bilaterale di densità di potenza) la seguente funzione della frequenza $f$:

${𝒫}_x(f):=\underset{T\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\left(\frac{|X_T(f){|}^2}{T}\right),\mathrm{\forall }f$

dove $X_T(f):=ℱ\{x_T(t)\}$ è la Trasformata di Fourier del segnale:

$x_T(t):=x(t)rect\left(\frac{t}{T}\right)\equiv \{\begin{array}{cc}x(t),& \text{se }0\le |t|\le T/2\\ 0,& \text{se }|t|>T/2\end{array}$

Si osservi che ciò vale solo se $x(t)$ è un segnale di potenza; se il segnale fosse di energia, avrebbe senso ricercare invece la densità spettrale di energia.

È possibile calcolare la potenza del segnale ${𝒫}_x$ valutando l'area sottesa dalla funzione ${𝒫}_x(f)$ per tutte le frequenze dello spettro elettromagnetico, ovvero calcolando:

${𝒫}_x\equiv \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{𝒫}_x(f)df$

Proprietà

• È una funzione a valori reali e non negativi della frequenza $f$, ovvero ${𝒫}_x(f)\in {ℝ}^1\ge 0,\mathrm{\forall }f$ ;
• Quando $x(t)$ è a valori reali allora ${𝒫}_x(f)$ è una funzione pari, cioè ${𝒫}_x(-f)={𝒫}_x(f),\mathrm{\forall }f\ge 0,(x(t)\in {ℝ}^1)$;
• ${𝒫}_x(f)$ è ottenibile tramite il Teorema di Wiener-Chinčin una volta nota la funzione di autocorrelazione $p_{xx}(t)$, in particolare ${𝒫}_x(f):=ℱ\{p_{xx}(t)\}$.

Voci correlate

• Densità spettrale di energia