Densità spettrale di energia

In teoria dei segnali, dato un segnale x(t) e data la sua trasformata di Fourier X(f), si definisce densità spettrale di energia del segnale x(t) la funzione:

$E(f)={|X(f)|}^2$,

che rappresenta la distribuzione dell'energia del segnale alle diverse frequenze.

Per la relazione di Parseval, si ha che $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\Vert X(f){\Vert }^{2}df=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\Vert x(t){\Vert }^{2}dt=E_x$, ovvero l'energia del segnale x(t).

Come esempio fisico di un possibile metodo di misura del valore della densità spettrale di energia di un segnale per una determinata frequenza, supponiamo che $x(t)$ rappresenti il valore di tensione (in volt) di un impulso elettrico che si propaga su un mezzo trasmissivo terminato con un resistore di valore $R$ unitario, e che tutta l'energia del segnale venga dissipata sul resistore, senza riflessioni. La potenza dissipata al tempo $t$ è $x(t{)}^2/R=x(t{)}^2$, in modo che l'energia totale si calcola integrando $x(t{)}^2$ rispetto al tempo per la durata dell'impulso. Per misurare il valore della densità spettrale di energia $E_x(f)$ alla frequenza $f$, si potrebbe inserire prima del resistore un filtro passa banda che trasmetta solo un intervallo limitato di frequenze $\mathrm{\Delta }f$ vicino alla frequenza di interesse, e quindi misurare l'energia totale $E(f)$ dissipata sul resistore. Il valore della densità spettrale di energia alla frequenza $f$ viene quindi stimata pari a $E(f)/\mathrm{\Delta }f$. In questo esempio, poiché $x(t{)}^2/R$ ha le dimensioni di V² Ω⁻¹, l'energia $E(f)$ ha quelle di V² s Ω⁻¹ = J, e quindi la stima $E(f)/\mathrm{\Delta }f$ della densità spettrale di energia alla frequenza $f$ ha dimensioni di J Hz⁻¹.

Relazione tra Autocorrelazione e Densità Spettrale di Energia di un segnale

Si ricorda che l'autocorrelazione è la correlazione incrociata di un segnale con se stesso. Per un segnale di energia finita $x(t)$ l'autocorrelazione è definita come:

$R_x(\tau )\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(t)x^{*}(t-\tau )dt$

Ora, dato un segnale di energia finita $x(t)$, la sua densità spettrale di energia e l'autocorrelazione del segnale stesso sono legati dalla relazione

$𝐸(f)=ℱ\{R_x(t)\}={|X(f)|}^2$,

ovvero la densità spettrale di energia di un segnale $x(t)$ è uguale alla trasformata continua di Fourier dell'autocorrelazione del segnale stesso.

Infatti

$𝐸(f)=ℱ\{R_x(t)\}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{R}_x(\tau )\cdot e^{-j2\pi f\tau }d\tau =$

$=\underset{\tau =-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{t=-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}x(t)\cdot x^{*}(t-\tau )dt\cdot e^{-j2\pi f\tau }d\tau =$

$=\underset{t=-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}x(t)\underset{\tau =-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{*}(t-\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau dt=$

ponendo ora ${\tau }^{\prime }=t-\tau$ nel secondo integrale, si ottiene

$𝐸(f)=\underset{t=-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}x(t)[\underset{{\tau }^{\prime }=-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{*}({\tau }^{\prime })e^{-j2\pi f(t-{\tau }^{\prime })}d{\tau }^{\prime }]dt=$

$=\underset{t=-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}x(t)\cdot e^{-j2\pi ft}[\underset{{\tau }^{\prime }=-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{*}({\tau }^{\prime })e^{j2\pi f{\tau }^{\prime }}d{\tau }^{\prime }]dt=$

$=X(f)\cdot {[\underset{{\tau }^{\prime }=-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}x({\tau }^{\prime })e^{-j2\pi f{\tau }^{\prime }}d{\tau }^{\prime }]}^{*}dt=X(f)\cdot X^{*}(f)={|X(f)|}^2$.

Voci correlate

• Segnale di energia
• Densità spettrale di potenza