Curva sestica

In matematica una curva sestica è una curva algebrica piana di sesto grado. Può essere definita da un polinomio della forma:

$A_1{X}^6+A_2{Y}^6+A_3{X}^{5}Y+A_{4}X{Y}^5+A_5{X}^4{Y}^2+A_6{X}^2{Y}^4+A_7{X}^3{Y}^3+A_8{X}^5+A_9{Y}^5+A_{10}{X}^{4}Y+A_{11}X{Y}^4+A_{12}{X}^3{Y}^2+A_{13}{X}^2{Y}^3+A_{14}{X}^4+A_{15}{Y}^4+A_{16}{X}^{3}Y+A_{17}X{Y}^3+A_{18}{X}^2{Y}^2+A_{19}{X}^3+A_{20}{Y}^3+A_{21}{X}^{2}Y+A_{22}X{Y}^2+A_{23}{X}^2+A_{24}{Y}^2+A_{25}XY+A_{26}X+A_{27}Y+A_{28}=0.$

L'equazione ha 28 coefficienti, ma la curva non cambia se li moltiplichiamo tutti per una costante non nulla. Quindi i coefficienti essenziali sono 27 e le sestiche sono ∞${}^{27}$. E una di esse è individuata dal suo passaggio per 27 punti generici.

Una curva sestica ($n=6$) irriducibile può avere al massimo:

• $\frac{1}{2}(n-1)(n-2)+1=11$ componenti connesse;
• $\frac{1}{2}(n-1)(n-2)=10$ punti doppi;
• $\frac{n}{2}(n-2)(n^2-9)=324$ rette bitangenti;
• $3n(n-2)=72$ punti di flesso.

Esempi

• Curva a girandola

$10(4x^2+4y^2-1{)}^3-500x^2{y}^2+3=0$

• Superellisse

${\left(\frac{x}{3}\right)}^6+{\left(\frac{y}{2}\right)}^6=1$

• Curva a farfalla

$x^6+y^6-x^2=0$

• Curva a bacio

$(1-x^2{)}^3-y^2=0$

• Curva a mongolfiera

$x^6+y^6-6y^5-y^2=0$

• Curva a cuore

$(x^2+y^2-1{)}^3-x^2{y}^3=0$

• Curva a dipolo

$(x^2+y^2{)}^3-x^2=0$

• Curva a doppio uovo

$(x^2+y^2{)}^3-x^4=0$

• Archi di Samotracia

$x^2(3x^2-y^2{)}^2-y^2(x^2+y^2)=0$

• Cicloide di Ceva

$(x^2+y^2{)}^3-(3x^2-y^2{)}^2=0$

• Curva a lacrima

$x^6-x^5+y^2=0$

• Curva di Cayley

$4(x^2+y^2-x{)}^3-27(x^2+y^2{)}^2=0$

• Curva astroide

$(x^2+y^2-1{)}^3+27x^2{y}^2=0$

• Curva nodo a farfalla

$x^4(x^2+y^2)-(x^2-y^2{)}^2=0$

• Curva a manubrio

$x^6-x^4+y^2=0$

• Curva a Croce di Malta

$(x^2+y^2{)}^3-x^2(x^2+20y^2)+8y^2(y^2+2)=0$

• Curva a quadrifoglio dritto

$(x^2+y^2{)}^3-(x^2-y^2{)}^2)=0$

• Curva a quadrifoglio obliquo

$(x^2+y^2{)}^3-4x^2{y}^2=0$

• Curva atriftaloide

$x^4(x^2+y^2)-(3x^2-2{)}^2=0$

• Curva di Lissajous

$y^2-(1-x^2)(1-4x^2{)}^2=0$

• Curva cornoide

$(x^2+y^2{)}^3-y^2(5y^2+6x^2-8)+3x^4-4=0$

• Curva foglio di Dürer

$(x^2+y^2)(2x^2+2y^2-1{)}^2-x^2=0$

• Curva radiale dell'ellisse

$(a^2{x}^2+b^2{y}^2{)}^3-a^4{b}^4(x^2+y^2{)}^2=0$

• Curva a scarabeo dritto

$(x^2+y^2)(x^2+y^2+ax{)}^2-b^2(x^2-y^2{)}^2=0$

• Curva a scarabeo obliquo

$(x^2+y^2)(x^2+y^2-x-y{)}^2-a{x}^2{y}^2=0$

• Curva a biella-manovella

$(x^2+y^2)(x^2+a^2-b^2{)}^2-4a^2{x}^4=0$

• Curva nefroide

$(a^2{x}^2+y^2-4{)}^3-108y^2=0$

• Curva a mulino a vento

$4x^2{y}^2(x^2+y^2)-a^2(x^2-y^2{)}^2=0$

• Curva di Watt

$(x^2+y^2)(x^2+y^2-c^2{)}^2+4a^2{y}^2(x^2+y^2-b^2)=0$

• Curva nefroide di Freeth

$a^4(y^2-3x^2)+8a^{3}x(x^2+y^2)-6a^2(x^2+y^2{)}^2+(x^2+y^2{)}^3=0$

• Curva a vaso

$x^2(2x^4-7x^2+7)+3y(2y^5-2y^3-3y-1)-xy(x{y}^2+2x^3+7xy+7x)-3=0:$

• Curva a telefono

$x^2(2x^4-9x^2+5)+9y^2(y^4+3y^3+2y^2+4y-4)+2x^{2}y(4x^{2}y-5y^3-6y^2+4y-9)=0$

• Curva a tomahawk

$x^4(29x^2-45x-20)+y^4(14y^2+45y-45)+xy(35x^4+12y^4-20x^3+30y^3)+5x^2{y}^2(6y^2-5x^2-8xy-2x-3y)=0$

• Curva di Talbot

$a^6{x}^6+b^6{y}^6+3a^4{b}^2{x}^4{y}^2+3a^2{b}^4{x}^2{y}^4+(8a^4{b}^4-8a^6{b}^2-a^8)x^4+(8a^4{b}^4-8a^2{b}^6-b^8)y^4+(38a^4{b}^4-20a^6{b}^2-20a^2{b}^6)x^2{y}^2+(8a^6{b}^4-32a^4{b}^6+16a^2{b}^8+8a^8{b}^2)x^2+(8a^2{b}^8+8a^4{b}^6+16a^8{b}^2-32a^6{b}^4)y^2+32a^6{b}^6-16a^8{b}^4-16a^4{b}^8=0$

• Curva a tre barre

$[\sin A(x\sin C-y\cos C-d\sin C)(x^2+y^2+b^2-e^2)+y\sin B(x^2+y^2-2dx+d^2+a^2-f^2){]}^2+[\sin A(x\cos C+y\sin C-d\cos C)(x^2+y^2+b^2-e^2)-x\sin B(x^2+y^2-2dx+d^2+a^2-f^2){]}^2-4a^2{\sin }^{2}B[\sin C(x^2-dx-y)-dy\cos C{]}^2=0$

ove $A,B,C$ sono gli angoli opposti ai lati $a,b,c$ di un triangolo

• Curva con 20 flessi

$(5x^2+5y^2-6)(3x^2-y^2-1)(9x^2-7y^2+1)-1=0$

• Curva decaconnessa

$2(5x^2+3y^2-6)(2y^2-4y^2+5)(10x^2-3y^2-7)+1=0$

• Curva a 144 bitangenti

$(x^2+y^2-1)(20x^2+y^2-2)(x^2+20y^2-2)+1=0$

• Curva ennanodata

$x^6+5,8619y^6+4,0033x^{5}y-10,743x{y}^5-7,549x^4{y}^2+6,8793x^2{y}^4-2,7873x^3{y}^3-14,01x^5-14,07y^5+26,891x^{4}y+19,518x{y}^4+26,291x^3{y}^2-47,496x^2{y}^3-43,733x^4-69,449y^4-55,528x^{3}y+54,722x{y}^3+162,51x^2{y}^2+69,253x^3+303,43y^3-217,82x^{2}y-135,8x{y}^2+140,02x^2-419,88y^2+124,15xy-110,32x+204,46y+0,2014=0$

• 
  Curva a girandola
• 
  Superellisse
• 
  Curva a farfalla
• 
  Curva a bacio
• 
  Curva a mongolfiera
• 
  Curva a cuore
• 
  Curva a dipolo
• 
  Curva a doppio uovo
• 
  Archi di Samotracia
• 
  Cicloide di Ceva
• 
  Curva a lacrima
• 
  Curva di Cayley
• 
  Curva astroide
• 
  Curva nodo a farfalla
• 
  Curva a manubrio
• 
  Curva a Croce di Malta
• 
  Curva a quadrifoglio dritto
• 
  Curva a quadrifoglio obliquo
• 
  Curva atriftaloide
• 
  Curva di Lissajous
• 
  Curva cornoide
• 
  Curva foglio di Dürer
• 
  Curva radiale dell'ellisse
• 
  Curva a scarabeo dritto
• 
  Curva a scarabeo obliquo
• 
  Curva a biella-manovella
• 
  Curva nefroide
• 
  Curva a mulino a vento
• 
  Curva di Watt
• 
  Curva nefroide di Freeth
• 
  Curva a vaso
• 
  Curva a telefono
• 
  Curva a tomahawk
• 
  Curva di Talbot
• 
  Curva a tre barre
• 
  Curva con 20 flessi
• 
  Curva decaconnessa
• 
  Curva a 144 bitangenti
• 
  Curva ennanodata

Voci correlate

• Curva quartica
• Curva quintica

Collegamenti esterni

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