Curva quintica

In matematica una curva quintica è una curva algebrica piana di quinto grado. Può essere definita da un polinomio della forma:

$A{x}^5+B{y}^5+C{x}^{4}y+Dx{y}^4+E{x}^3{y}^2+F{x}^2{y}^3+G{x}^4+H{y}^4+I{x}^{3}y+Jx{y}^3+K{x}^2{y}^2+L{x}^3+M{y}^3+N{x}^{2}y+Ox{y}^2+P{x}^2+Q{y}^2+Rxy+Sx+Ty+U=0$

L'equazione ha 21 coefficienti, ma la curva non cambia se li moltiplichiamo tutti per una costante non nulla. Quindi i coefficienti essenziali sono 20 e le quintiche sono ∞${20}^{}$. E una di esse è individuata dal suo passaggio per 20 punti generici.

Curva a 28 bitangenti

Una curva quintica (n=5) irriducibile può avere al massimo:

• (n-1)(n-2)/2 + 1 = 7 componenti connesse
• (n-1)(n-2)/2 = 6 punti doppi
• n(n-2)(n-3)(n+3)/2 = 120 rette bitangenti
• 3n(n-2) = 45 punti di flesso.

Esempi

• Curva di Burnside

$x^5-y^2-x=0$

• Curva Keratoide

$x^5+x^{2}y-y^2=0$

• Curva a staffa

$y^2(y-1)(y-2)(y+5)-(x^2-1{)}^2=0$

• Curva a birilli

$25x^5+45y^5+68x^4-155y^4-12x^3+175y^3-35x^2-65y^2+x+4=0$

• Curva di De l'Hospital

$(x^2+y^2{)}^2(y-2)+y(4x^4+x^2+y^2)=0$

• Curva di Mutasci

$x^4(x-1)+y^4(y-1)-xy=0$

• Curva sinuosa

$x^5+y^5-x=0$

• Maracas di Chioppa

$4y^5+24x^{4}y+35x^2{y}^3-21x^4-45x^2{y}^2-40y^3-46x^{2}y-13y^2+57y+36=0$

• Butterfly Catastrophe

$36864y^5+84375x^4-24576a^2{y}^4+144000a{x}^2{y}^2+4096a^4{y}^3-86400a^3{x}^{2}y+13824a^5{x}^2=0$

• Curva a bulbo

$y^5+5(x^4-y^4-1)=0$

• Foglia di Patarino

$x^2(13y^3-5x^2+33y^2+36y+14)+y(2x^4+5y^4+15y^3+12y^2-10y-16)-5=0$

• Curva a tulipano

$x^2(9x^2-8y^3+4y^2+8)+y(9x^4+3y^4-7y^3+4y^2+5y-8)-5=0$

• Curva a gocce

$5y^5-x^4-2y^3+2x^2-1=0$

• Impulso singolo

$y^5+100x^{4}y+20x^2{y}^3-100x+10y-1000=0$

• Doppio impulso

$y^5+100x^{4}y+20x^2{y}^3+100x=0$

• Curva con punto triplo

$x^5+y^5+xy(x-y)=0$

• Curva a tre cappi

$(x^2-y^2)(y^2-1)(2y-3)-y(x^2+y^2-2y{)}^2=0$

• Curva bicuspinodata

$x^2(x^2-2)+2y^2(y^3+y^2-1)+2x^{2}y(x^2-y^2-1)+1=0$

• Curva a 36 bitangenti

$20y(x^2+y^2-1)(5x^2+y^2-2)+1=0$

• Curva con 10 flessi

$x(x{y}^3-14xy+1)+y(y^4+10x^4-6y^2+4)=0$

• Curva esaconnessa

$(7y^3-6x^{2}y-8x^2+7y^2+4)(10x^2+6y^2+4y-9)-1=0$

• Curva esanodata

$4x^2(3x^3+2x^2-13x+8)-36y^2(y^3-2y^2-4y+8)+3x^2{y}^2(11x-10y+39)-2xy(2x^3-18y^3+29x^2+57y^2+59x+3y-90)=0$

• 
  Curva di Burnside
• 
  Curva Keratoide
• 
  Curva a staffa
• 
  Curva a Birilli
• 
  Curva di De L'Hospital
• 
  Curva di Mutasci
• 
  Curva sinuosa
• 
  Maracas di Chioppa
• 
  Butterfly Catastrophe
• 
  Curva a bulbo
• 
  Foglia di Patarino
• 
  Curva a tulipano
• 
  Curva a gocce
• 
  Curva con punto triplo
• 
  Impulso singolo
• 
  Doppio impulso
• 
  Curva bicuspinodata
• 
  Curva a 36 bitangenti
• 
  Curva con 10 flessi
• 
  Curva esaconnessa
• 
  Curva esanodata

Voci correlate

• Curva quartica
• Curva sestica

Collegamenti esterni

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