Cuore normale

Template:O Template:W Template:F Nella teoria dei gruppi il cuore normale (talvolta chiamato nocciolo) di un sottogruppo $H\le G$, indicato generalmente con $H_G$ è il nucleo dell'azione di gruppi $\sigma :G\to S_{\mathrm{\Omega }}$ con $\sigma (g):={\sigma }_g:\mathrm{\Omega }\to \mathrm{\Omega }$ dove $\mathrm{\Omega }=\{gH\subseteq G:g\in G\}$ definita da ${\sigma }_g(xH):=gxH$.

Proprietà

Si osserva che lo stabilizzatore di questa applicazione di gruppi è ${\text{Stab}}_G(xH)=\{g\in G:gxH=xH\}=\{g\in G:x^{-1}gxH=H\}=\{g\in G:x^{-1}gx\in H\}=\{g\in xH{x}^{-1}\}=xH{x}^{-1}$. Da questo deriva che $H_G=\text{ker}(\sigma )=\bigcap _{x\in G}xH{x}^{-1}$.

Alcuni notevoli proprietà del cuore normale sono le seguenti:

• $H_G⊴G$ cioè il cuore normale di un sottogruppo di $G$ è sempre un sottogruppo normale di $G$. Si vede immediatamente essendo $\text{ker}(\varphi )⊴G$ per ogni $\varphi$ omomorfismo.
• $H_G\le H$ ed è il più grande sottogruppo normale a $G$ contenuto in $H$: ovvero se $N⊴G$ e $N\le H$ implica $N\le H_G$. Infatti banalmente $H_G\le {\text{stab}}_G(H)=H$. Inoltre sia $N⊴G$ con $N\le H$. Dato $g\in G$ vale $gN{g}^{-1}\le gH{g}^{-1}$ essendo $N$ normale questo è equivalente a $N\le gH{g}^{-1}$ per ogni $g\in G$ quindi $N\le \bigcap _{g\in G}gH{g}^{-1}=H_G$.
• Posto $m$ l'indice di $H_G$ in $G$, cioè $m=[G:H_G]$ e $n=[G:H]$ vale la relazione $m|n!$. Infatti per il primo teorema di isomorfismo si ha che $G/H_G=G/\text{ker}(\sigma )\cong \sigma (G)\le S_{\mathrm{\Omega }}$ da cui per il teorema di Lagrange $[G:H_G]||S_{\mathrm{\Omega }}|$ ma la cardinalità di $\mathrm{\Omega }$ è esattamente uguale al numero di classi laterali di $H$, cioè $n$, e quindi $|S_{\mathrm{\Omega }}|=n!$.

Conseguenze

Un importante risultato che si può dedurre dalle proprietà elencate è il seguente:

Sia $G$ un gruppo finito e sia $p$ il più piccolo numero primo che divide l'ordine di $G$. Allora se esiste $H\le G$ tale che $[G:H]=p$ si ha $H⊴G$.

Si ha infatti $[G:H_G]|p!$ ed essendo $[G:H_G]=[G:H][H:H_G]$ vale $[H:H_G]|(p-1)!$. Ma allora $[H:H_G]$ divide $|G|$ e $(p-1)!$ coprimi tra loro (per minimalità di $p$ primo come divisore di $|G|$), quindi necessariamente $[H:H_G]=1$ ovvero $H=H_G⊴G$.

Teoria di Galois

Il cuore normale gioca anche un ruolo importane in teoria di Galois: dati infatti $\mathrm{\Omega }/K$ estensione di Galois e $L$ campo intermedio $K\le L\le \mathrm{\Omega }$; sia inoltre $\hat{L}$ la chiusura normale di $L$. Una conseguenza del teorema fondamentale della teoria di Galois, ponendo $G_L=:H\le G:=\text{Gal}(\mathrm{\Omega }/K)$ vale la relazione $G_{\hat{L}}=H_G$, dove $H_G$ è il cuore normale di $H$ in $G$. Questo è vero perché per definizione $\hat{L}$ è la più piccola estensione normale di $L$, e per corrispondenza di Galois questo induce, attraverso l'antisomorfismo di reticoli, che $G_{\hat{L}}$ è il più grande sottogruppo normale di $G_L$, ovvero che è appunto il suo cuore normale.