Costante di Landau-Ramanujan

In matematica, la costante Landau-Ramanujan K è una costante che si presenta nella teoria dei numeri. K rappresenta la costante di proporzionalità tra il numero di interi positivi minori di x che sono la somma di due quadrati perfetti e

$\frac{x}{\sqrt{\ln (x)}}$

per x che tende a infinito; in altre parole, se N(x) è il numero di interi positivi minori di x somma di due quadrati perfetti, allora

$K=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{N(x)\sqrt{\ln (x)}}{x}=0,76422365358922066299069873125...$

Prende il nome di Edmund Landau che ne dimostrò l'enunciato nel 1908, mentre prende il nome di Srinivasa Ramanujan perché fu quello che la enunciò nel 1906, non riuscendo però a dimostrarla. La convergenza del limite alla costante K è tuttavia molto lenta:

x	$N(x)$	$N(x)\frac{\sqrt{\ln (x)}}{x}$
10	7	1,0622
102	43	0,922765
103	330	0,867326
104	2749	0,834281
105	24028	0,815287
106	216341	0,804123

Una formula, trovata da Flajolet e Vardi nel 1996, che converge più velocemente a K è

$K=\frac{1}{\sqrt{2}}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left[(1-\frac{1}{2^{2^n}})\frac{\zeta (2^n)}{\beta (2^n)}\right]}^{\frac{1}{2^{n+1}}}$

dove $\zeta (n)$ è la funzione zeta di Riemann e $\beta (n)$ è la funzione beta di Dirichlet.

Una formula esatta per K è

$K=\frac{1}{\sqrt{2}}\prod {(1-\frac{1}{p^2})}^{-\frac{1}{2}}$

dove la produttoria è presa tra tutti i numeri primi p congrui a 3 modulo 4.

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni