Carica di un condensatore

Circuito per la carica di un condensatore

Andamenti del potenziale e della corrente in funzione del tempo di carica del condensatore

La carica di un condensatore in un circuito elettrico è il processo mediante il quale le cariche si accumulano sulle armature di questo componente in seguito all'applicazione di una differenza di potenziale. La corrente elettrica e le leggi di Kirchhoff valgono esattamente solo quando le condizioni sono stazionarie, cioè quando le grandezze in gioco non dipendono dal tempo. Necessariamente però queste condizioni sono ideali: fortunatamente le leggi che ci interessano valgono anche per quelle condizioni che vengono dette quasi-stazionarie, cioè che variano così lentamente nel tempo che le leggi continuano a valere. Uno di questi casi notevoli è la carica e la scarica di un condensatore.

La legge di carica del condensatore

Si consideri un circuito come quello in figura con il generatore di forza elettromotrice f che mantiene ai suoi capi una tensione $ℰ$, interruttore T inizialmente aperto, e condensatore inizialmente scarico. Non vi è carica sul condensatore e quindi è nulla la differenza di potenziale ai capi di C e tale rimane finché l'interruttore rimane aperto. Al tempo $t=0$, le condizioni iniziali sono: $V(t=0)=0$ e $Q(t=0)=0$; chiudiamo l'interruttore T. Nell'intervallo di tempo infinitesimo dt, la carica dQ va dal generatore al condensatore, cioè si genera corrente:

$I=\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$

Per la legge di Ohm ai capi della resistenza R si ha una differenza di potenziale:

$ℰ-V(t)=IR$

dove $ℰ$ è la forza elettromotrice o tensione fornita dal generatore. Vediamo come variano nel tempo le grandezze in gioco. Innanzitutto possiamo trovare l'andamento della carica del condensatore, ricavando $Q(t)$, riscriviamo la legge di Ohm:

$ℰ-\frac{Q(t)}{C}=R\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}⟹\mathrm{d}t=\frac{RC\mathrm{d}Q}{ℰC-Q}$

Dobbiamo integrare quest'ultima equazione e per farlo dobbiamo effettuare un cambiamento di variabile, $x=ℰC-Q$ così che $\mathrm{d}Q=-\mathrm{d}x$:

$\mathrm{d}t=-RC\frac{\mathrm{d}x}{x}⟹-\frac{1}{RC}\underset{0}{\overset{t}{\int }}\mathrm{d}t=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{x}⟹\ln \left(\frac{x(t)}{x(0)}\right)=-\frac{t}{RC}$

Risolviamo rispetto a x(t) e ritorniamo alla nostra funzione $Q(t)$:

$x(t)=x(0)\cdot e^{-t/RC}⟹ℰC-Q(t)=ℰC\cdot e^{-t/RC}$

otteniamo l'equazione della carica di un condensatore:

$Q(t)=ℰC(1-e^{-t/RC})=ℰC(1-e^{-t/\tau })$

dove $\tau =RC$ è un valore costante detta costante di tempo del circuito.

Ricaviamo di conseguenza l'equazione del potenziale in funzione del tempo:

$V(t)=\frac{Q(t)}{C}=ℰ(1-e^{-t/\tau })$

Ricaviamo di conseguenza l'equazione della corrente in funzione del tempo:

$I(t)=\frac{\mathrm{d}Q(t)}{\mathrm{d}t}=ℰC\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(1-e^{-t/RC})=ℰ\cancel{C}\frac{1}{R\cancel{C}}{e}^{-t/RC}=\frac{ℰ}{R}{e}^{-t/\tau }$

Come si vede dalla figura sui grafici del potenziale e della corrente, gli andamenti sono esponenziali crescenti per la carica (identico a quello del potenziale) e il potenziale. Ciò sta a significare che il condensatore non si carica istantaneamente e completamente, ma si carica in un tempo teoricamente infinito, anche se in effetti l'andamento ci fa vedere come la carica si sviluppi in pochi costanti di tempo $\simeq 3,5\tau$ e per il resto diventa trascurabile. Dall'equazione della corrente all'inverso si vede come decresce esponenzialmente a zero e cioè all'inizio il condensatore si comporta come un corto circuito e al tempo infinito come un circuito aperto. Questa caratteristica si può evidenziare anche a partire dall'impedenza stessa del condensatore applicando il teorema del valor iniziale e del valor finale.

Se, una volta caricato il condensatore e passivizzato il generatore (sostituendolo con un corto circuito), chiudiamo l'interruttore si assiste invece al processo inverso di scarica del condensatore.

In regime di tensione/corrente alternata (AC) il condensatore si carica e si scarica continuamente assecondando le variazioni di tensione/corrente ai suoi capi ovvero con la stessa frequenza di oscillazione dell'eccitazione introducendo però uno sfasamento di 90° della risposta del circuito rispetto all'eccitazione iniziale.

Bilancio energetico

L'energia potenziale accumulata dal condensatore è:

$U_C(t)=\frac{Q(t{)}^2}{2C}=\frac{{ℰ}^{2}C}{2}{(1-e^{-t/RC})}^2$

per $t\to \mathrm{\infty }$ si ha:

$U_C(\mathrm{\infty })=\frac{{ℰ}^{2}C}{2}$

mentre l'energia dissipata per effetto Joule è:

$U_{\text{diss}}(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}RI(t{)}^2\mathrm{d}t=R\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{{ℰ}^2}{R^2}{e}^{-2t/RC}\mathrm{d}t=\frac{{ℰ}^{2}C}{2}(1-e^{-2t/RC})$

e per $t\to \mathrm{\infty }$ si ha inoltre:

$U_{\text{diss}}(\mathrm{\infty })=\frac{{ℰ}^{2}C}{2}$

Questo significa che l'energia fornita dal generatore in ogni istante è:

$U_G(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}ℰ\mathrm{d}Q=\underset{0}{\overset{t}{\int }}ℰI(t)\mathrm{d}t={ℰ}^{2}C(1-e^{-t/RC})$

per $t\to \mathrm{\infty }$, l'energia totale fornita dal generatore è la somma delle energie accumulata dal condensatore e dissipata per l'effetto Joule:

$U_G(t=\mathrm{\infty })=U_C(\mathrm{\infty })+U_{\text{diss}}(\mathrm{\infty })={ℰ}^{2}C$

Voci correlate

• Campo elettrico
• Condensatore (elettrotecnica)
• Corrente elettrica
• Energia potenziale elettrica
• Scarica di un condensatore