Anello semplice

Template:S Template:F In algebra astratta un anello semplice è un anello che ha come unici ideali bilateri l'ideale nullo e se stesso. Il termine semplice indica che l'anello non è scomponibile in anelli più semplici, in quanto non possiede alcun anello quoziente, salvo quelli banali.

Anelli semplici e ideali massimali

Gli ideali massimali sono in stretto rapporto con gli anelli semplici, infatti dato $A$ anello:

$I\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{e}\iff A/I\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{e}$

Inoltre se $A$ anello commutativo unitario abbiamo che il quoziente $A/I$ oltre a essere semplice è anche un campo; questo non è più vero in un anello senza unità, ad esempio l'ideale $4\mathbb{Z}$ è massimale in $2\mathbb{Z}$, ma $2\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ non è un campo nonostante sia un anello semplice.

Il teorema di Artin-Wedderburn fornisce una caratterizzazione degli anelli semplici artiniani.

Esempi

• L'algebra di Weyl è un anello semplice;
• gli anelli di matrici su corpi sono semplici;

Voci correlate

• Ideale massimale
• Ideale nullo

Collegamenti esterni

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