Anello di valutazione

In algebra, un anello di valutazione (o dominio di valutazione) è un anello commutativo unitario integro A tale che, per ogni x nel suo campo dei quozienti, almeno uno tra $x$ e $x^{-1}$ è in A; equivalentemente, è un anello commutativo integro i cui ideali sono totalmente ordinati.

Esempi di anelli di valutazione sono le localizzazioni di $\mathbb{Z}$ e di $K[X]$ (dove K è un campo) su un loro ideale primo, oppure l'anello degli interi p-adici per un numero primo p, o ancora l'anello $K[[X]]$ delle serie formali su un campo.

Una versione "globale" degli anelli di valutazione sono i domini di Prüfer, che sono quegli anelli in cui, per ogni ideale primo P, la localizzazione A_P è un anello di valutazione.

Definizioni equivalenti

Un anello di valutazione può essere definito in diversi modi equivalenti: sia A un dominio d'integrità e K il suo campo dei quozienti.

• Per ogni x in K, x o x ^-1 è in A;
• gli ideali di A sono totalmente ordinati;
• gli ideali principali di A sono totalmente ordinati (ovvero, per ogni a e b in A, a divide b o b divide a).

Valutazioni

Un ulteriore modo di definirli è attraverso l'uso di una valutazione (da cui il nome): questa è un omomorfismo suriettivo di gruppi

$v:K^{*}⟶G$

(dove K è un campo, K^* il suo gruppo moltiplicativo e G è un gruppo totalmente ordinato) tale che, se x + y è diverso da 0, allora

$v(x+y)\ge \min (v(x),v(y)).$

L'anello $A_v=\{x\in K^{*}|v(x)\ge 0\}\cup \{0\}$, detto l'anello associato a v, è un anello di valutazione; viceversa, dato un anello di valutazione A con campo dei quozienti K, se G il gruppo quoziente $K^{*}/U(A)$ (dove $U(A)$ sono le unità di A), allora G può essere ordinato totalmente attraverso la relazione

$xU(A)\ge yU(A)⟺x{y}^{-1}\in A.$

Il quoziente canonico $v:K^{*}⟶G$ che manda un elemento x nella classe $xU(A)$ diventa in questo modo una valutazione, il cui anello associato è esattamente A.

Più in generale, è possibile costruire, dato un qualsiasi gruppo totalmente ordinato G, un anello di valutazione A tale che $G\simeq K^{*}/U(A)$: se F è un campo, allora si considera un insieme di indeterminate $\{X_g|g\in G\}$ e si considera il campo $K=F(\{X_g\})$; l'applicazione che manda ogni polinomio $\sum _{g\in G}f(g)X_g$ nel più piccolo $g\in G$ tale che $f(g)$ è diverso da 0 è una valutazione su K, a cui è associato un anello di valutazione A tale che quoziente $K^{*}/U(A)$ è isomorfo a G.

Proprietà

Dalla caratterizzazione attraverso l'ordinamento degli ideali è facile concludere che se V è un anello di valutazione e P un suo ideale primo, allora sia il quoziente V/P che la localizzazione V_P sono ancora anelli di valutazione.

Un anello di valutazione è un anello locale; in termini delle valutazioni, il suo ideale massimale è dato dagli x tali che $v(x)>0$. Gli anelli di valutazione sono integralmente chiusi, e la chiusura integrale di un dominio d'integrità D è l'intersezione di tutti gli anelli di valutazione compresi tra D e il suo campo dei quozienti. In particolare, tra un dominio d'integrità e il suo campo dei quozienti sono presenti sempre degli anelli di valutazione; inoltre, alcuni di questi hanno dimensione uguale a quella di D.

Tutti gli ideali finitamente generati di un anello di valutazione A sono principali, e quindi un anello di valutazione è, in particolare, un dominio di Bézout; se inoltre è noetheriano, A è un dominio ad ideali principali ed ha quindi dimensione 1. Tali anelli sono chiamati anelli a valutazione discreta, e possono essere caratterizzati anche come quegli anelli di valutazione la cui valutazione è a valori sull'anello $\mathbb{Z}$ dei numeri interi.

Bibliografia

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