Algebra di Lie risolubile

In matematica, un'algebra di Lie $𝔤$ si dice risolubile se la sua serie derivata, definita come

$𝔤\ge [𝔤,𝔤]\ge [[𝔤,𝔤],[𝔤,𝔤]]\ge [[[𝔤,𝔤],[𝔤,𝔤]],[[𝔤,𝔤],[𝔤,𝔤]]]\ge ...$

diviene 0 dopo un numero finito di passaggi.

Ogni algebra di Lie nilpotente è risolubile, ma il viceversa non è vero. L'ideale risolubile massimale è detto radicale.

Proprietà

Sia $𝔤$ un'algebra di Lie finito-dimensionale su un campo di caratteristica 0. Allora sono equivalenti:

1. $𝔤$ è risolubile
2. $\mathrm{ad}(𝔤)$, la rappresentazione aggiunta di $𝔤$, è risolubile.
3. Esiste una successione finita di ideali ${𝔞}_i$ di $𝔤$ tali che:

   $𝔤={𝔞}_0\supset {𝔞}_1\supset ...{𝔞}_r=0$ dove $[{𝔞}_i,{𝔞}_i]\subset {𝔞}_{i+1}$ per ogni $i$.

4. $[𝔤,𝔤]$ è nilpotente.

Il teorema di Lie afferma che se $V$ è uno spazio vettoriale finito-dimensionale su un campo algebricamente chiuso di caratteristica 0, e $𝔤$ è un'algebra di Lie risolubile su $V$, allora esiste una base di $V$ per la quale tutte le matrici degli elementi di $𝔤$ sono triangolari superiori.

Bibliografia

• Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1972. ISBN 0-387-90053-5

Voci correlate

• Criterio di Cartan