Algebra di Lie nilpotente

In matematica, un'algebra di Lie $𝔤$ si dice nilpotente se la sua serie centrale discendente, definita come

$𝔤>[𝔤,𝔤]>[[𝔤,𝔤],𝔤]>[[[𝔤,𝔤],𝔤],𝔤]>\cdots$

diviene 0 dopo un certo numero finito di passaggi. Equivalentemente, $𝔤$ si dice nilpotente se

$\mathrm{ad}(x_1)\mathrm{ad}(x_2)\mathrm{ad}(x_3)...\mathrm{ad}(x_r)=0,$

per ogni sequenza di elementi $x_i\in 𝔤$ abbastanza lunga, dove $\mathrm{ad}(x_i)$ indica l'endomorfismo aggiunto associato a $x_i$.

Conseguenza di questo è che $\mathrm{ad}(x)$ è nilpotente (come operatore lineare) per ogni $x\in 𝔤$. Il teorema di Engel dimostra che è vero anche il viceversa. Inoltre, la forma di Killing di un'algebra di Lie nilpotente è identicamente nulla.

Ogni algebra nilpotente è risolubile. Questo fatto è spesso usato per dimostrare che una certa algebra sia risolubile, in quanto dimostrare la nilpotenza è più semplice. Il viceversa non è in generale vero.

Un'algebra di Lie è nilpotente se e solo se il suo quoziente rispetto ad un ideale contenente il centro di $𝔤$ è anch'esso nilpotente.

Bibliografia

• Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1972. ISBN 0-387-90053-5
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