Albero delle terne pitagoriche primitive

Template:O Template:S In matematica un albero di terne pitagoriche primitive è una struttura ad albero in cui ogni nodo rappresenta una terna pitagorica primitiva; da ogni nodo si ramificano tre nodi. L'albero contiene l'insieme infinito di tutte e sole le terne pitagoriche primitive esistenti.

Terne pitagoriche primitive

Rappresentazione nel piano della terna pitagorica a, b, c e della coppia m, n

Grafico di alcune coppie m, n e dei corrispondenti punti delle terne. Aprire il file svg per una versione interattiva

Una terna di numeri interi $a,b,c\in \mathbb{N}$ è una terna pitagorica se $a^2+b^2=c^2$; è una terna pitagorica primitiva se $a,b,c$ non hanno fattori in comune, cioè se $MCD(a,b,c)=1$.

Ogni terna pitagorica può essere parametrizzata tramite una coppia di numeri interi $m,n\in \mathbb{N}$ con $m>n\ge 1$ che abbiano parità diversa (cioè uno sia pari e l'altro dispari):

$a=m^2-n^2$ (cateto dispari)

$b=2mn$ (cateto pari)

$c=m^2+n^2$ (ipotenusa)

La relazione inversa permette di calcolare $m,n$ per ogni terna:

$m=\sqrt{\frac{c+a}{2}}$

$n=\sqrt{\frac{c-a}{2}}$

Considerando $a,b$ e $m,n$ come coordinate del piano complesso ($z_1=ai+b$ e $z_2=mi+n$), si hanno le rispettive coordinate polari $c,\theta$ e $r,\alpha$. Si ottiene la relazione:

$z_2^2=(m+ni{)}^2=(m^2-n^2)+(2mn)i=a+bi=z_1$

da cui $c=r^2$ e $\theta =2\alpha$.

La relazione tra gli angoli può anche essere ottenuta da:

$\tan \theta =\frac{b}{a}=\frac{2mn}{m^2-n^2}=\frac{2(n/m)}{1-(n/m{)}^2}=\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }=\tan 2\alpha$

Alberi di terne pitagoriche primitive

Gli alberi di terne pitagoriche primitive sono ottenuti a partire da un valore iniziale, tipicamente la terna (3,4,5) o la coppia (2,1), a cui sono applicate tre diverse trasformazioni lineari. È stato dimostrato che esistono solo tre possibili alberi.

Le tre matrici associate a ogni albero possono essere riferite alla tripla $a,b,c$ oppure alla coppia $m,n$

$\left(\begin{array}{ccc}{k}_{11}& k_{12}& k_{13}\\ k_{21}& k_{22}& k_{23}\\ k_{31}& k_{32}& k_{33}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}^{\prime }\\ b^{\prime }\\ c^{\prime }\end{array}\right)⟺\left(\begin{array}{cc}{j}_{11}& j_{12}\\ j_{21}& j_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}m\\ n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{m}^{\prime }\\ n^{\prime }\end{array}\right)$

Albero UAD

Il primo albero utilizza le seguenti matrici di trasformazione per le terne:

$U=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 2\\ 2& -1& 2\\ 2& -2& 3\end{array}\right),A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 2& 1& 2\\ 2& 2& 3\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& 2\\ -2& 1& 2\\ -2& 2& 3\end{array}\right)$

con le corrispondenti per le coppie:

$U^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 0\end{array}\right),A^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 0\end{array}\right),D^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$

Albero FB

Il secondo albero, introdotto da Firstov e Price, utilizza le seguenti matrici di trasformazione per le terne:

$M_1=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ -2& 2& 2\\ -2& 1& 3\end{array}\right),M_2=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 2& -2& 2\\ 2& -1& 3\end{array}\right),M_3=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 2& 2& 2\\ 2& 1& 3\end{array}\right)$

con le corrispondenti per le coppie:

${M_1}^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right),{M_2}^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& -1\end{array}\right),{M_3}^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$

Albero UMT

Il terzo albero, determinato da Firstov, ha le seguenti matrici di trasformazione per le terne:

$U=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 2\\ 2& -1& 2\\ 2& -2& 3\end{array}\right),M=M_2=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 2& -2& 2\\ 2& -1& 3\end{array}\right),T=M_1\cdot D=\left(\begin{array}{ccc}-2& 3& 3\\ -6& 2& 6\\ -6& 3& 7\end{array}\right)$

con le corrispondenti per le coppie:

$U^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 0\end{array}\right),M^{\prime }={M_2}^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& -1\end{array}\right),T^{\prime }={M_1}^{\prime }\cdot D^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 2\end{array}\right)$

Bibliografia

• Template:Cita pubblicazione
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Voci correlate

• Terna pitagorica
• Albero (informatica)