1 − 3 + 9 − 27 + · · ·

Template:S In matematica, 1 − 3 + 9 − 27 + ... è una serie infinita i cui termini sono i successivi fattori di tre a segno alternato. Come una serie geometrica, essa è caratterizzata da un primo termine, 1, e da una proporzione comune, −3.

$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(-3{)}^i$

È possibile con un piccolo accorgimento, scrivere la serie come differenza di altre due serie, separando le potenze pari e dispari:

$1-3+9-27+\cdots =(1+9+\cdots )-(3+27+\cdots )$ che corrisponde a $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(-3{)}^i=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{3}^{2i}-\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{3}^{2i+1}$.

Sommatoria numero 1

Analizziamo ora la prima sommatoria: $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{3}^{2i}$.

1) Per le proprietà delle potenze possiamo scrivere $3^{2i}=(3^2{)}^i=9^i$ facendo diventare la somma $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{9}^i$;

2) Ponendo un numero m come punto finale otterremo che:$\sum _{i=0}^m{9}^i=\frac{1}{8}\cdot (9^{m+1}-1)$

Sommatoria numero 2

Analizziamo ora la seconda sommatoria: $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{3}^{2i+1}$.

1) Per le proprietà delle potenze possiamo scrivere $3^{2i+1}=3\cdot (3^2{)}^i=3\cdot 9^i$ facendo diventare la somma $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}3\cdot 9^i$, il $3$ si può portare fuori e ottenere $3\cdot \sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{9}^i$.

2) Ponendo un numero m come punto finale otterremo che:$3\cdot \sum _{i=0}^m{9}^i=\frac{3}{8}\cdot (9^{m+1}-1)$.

Somma parziale

Ritornando alla somma iniziale possiamo discutere la sua somma parziale.

Valore Dispari

Caso nº1: il numero è dispari.

$\sum _{i=0}^1(-3{)}^i=1-3=\sum _{i=0}^0{3}^{2i}-\sum _{i=0}^0{3}^{2i+1}$

$\sum _{i=0}^3(-3{)}^i=1-3+9-27=\sum _{i=0}^1{3}^{2i}-\sum _{i=0}^1{3}^{2i+1}$

$\cdots$

$\sum _{i=0}^m(-3{)}^i=\sum _{i=0}^{\frac{m-1}{2}}{3}^{2i}-\sum _{i=0}^{\frac{m-1}{2}}{3}^{2i+1}$

La somma diventa quindi:$\sum _{i=0}^{\frac{m-1}{2}}{3}^{2i}-\sum _{i=0}^{\frac{m-1}{2}}{3}^{2i+1}=\frac{1}{8}\cdot (3^{m+1}-1)-\frac{3}{8}\cdot (3^{m+1}-1)=-\frac{1}{4}\cdot (3^{m+1}-1)$

Più precisamente abbiamo che:$9^{\frac{m-1}{2}+1}=3^{m+1}$

Valore Pari

Caso nº2: il numero è pari.

$\sum _{i=0}^2(-3{)}^i=1-3+9=\sum _{i=0}^1{3}^{2i}-\sum _{i=0}^0{3}^{2i+1}$

$\sum _{i=0}^4(-3{)}^i=1-3+9-27+81=\sum _{i=0}^3{3}^{2i}-\sum _{i=0}^2{3}^{2i+1}$

$\cdots$

$\sum _{i=0}^m(-3{)}^i=\sum _{i=0}^{m-1}{3}^{2i}-\sum _{i=0}^{m-2}{3}^{2i+1}$

La somma diventa quindi:$\sum _{i=0}^{m-1}{3}^{2i}-\sum _{i=0}^{m-2}{3}^{2i+1}=\frac{1}{8}\cdot (9^m-1)-\frac{3}{8}\cdot (9^{m-1}-1)=\frac{1}{8}\cdot (9^m-3\cdot 9^{m-1}+2)$ .

In generale

Abbiamo così ottenuto le formule per calcolare la somma in tutti i casi:

m dispari = $-\frac{1}{4}\cdot (3^{m+1}-1)$

m pari = $\frac{1}{8}\cdot (9^m-3\cdot 9^{m-1}+2)$

Voci correlate

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