Teorema di Carmichael

In matematica, in particolare in teoria dei numeri, il teorema di Carmichael esprime una relazione tra un numero di Fibonacci e i divisori dei termini ad esso precedenti. Più precisamente:

per ogni numero naturale $n>12$, esiste un fattore primo del numero di Fibonacci $F_n$ che non divide $F_k$, per ogni $k<n$.

Per $n\le 12$ si hanno le seguenti eccezioni:

• $F_1=1$ non ha fattori primi;
• $F_2=1$ non ha fattori primi;
• $F_6=8$ ha solo il fattore primo 2 e $F_3=2$;
• $F_{12}=144$ ha solo i fattori primi 2 e 3, e $F_3=2$ e $F_4=3$.

I fattori primi di un numero di Fibonacci $F_n$ che non dividono $F_k$, per ogni $k<n$, sono detti fattori caratteristici o divisori primi primitivi. Quindi il teorema di Carmichael dice che ogni numero di Fibonacci, a parte le precedenti eccezioni, ammette almeno un fattore caratteristico.

Si noti che questo teorema non implica che se $p$ è un numero primo allora $F_p$ deve essere un numero primo. Ad esempio $F_{19}=4.181=37\times 113$, dove 19 è un numero primo, ma $F_{19}$ no.

Il teorema di Carmichael può essere generalizzato dai numeri di Fibonacci alle successioni di Lucas.

Bibliografia

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Voci correlate

• Successione di Fibonacci
• Funzione di Carmichael
• Numero di Carmichael
• Successione di Lucas
• Teorema di Zsigmondy