Teorema di Zsigmondy

Nella teoria dei numeri, il teorema di Zsigmondy, che prende il nome da Karl Zsigmondy, afferma che se a > b > 0 sono interi coprimi, allora per ogni intero n ≥ 1, esiste un numero primo p (chiamato divisore primitivo primo) che divide aⁿ − bⁿ, ma non divide a^k − b^k per tutti gli interi positivi k < n, con le seguenti eccezioni:

• n = 1, a − b = 1; aⁿ − bⁿ = 1 il quale non ha divisori primi.
• n = 2, con a + b potenza di due; poiché a² - b² = (a + b)(a¹ - b¹) ed essendo a - b divisibile per 2, a² - b² non può contenere divisori primi diversi da quelli di a - b.
• n = 6, a = 2, b = 1; poiché $a^6-b^6=2^6-1^6=63=3^2\cdot 7$, ma né 3 né 7 soddisfano la tesi del teorema; infatti, per k = 4, 3 divide $2^4-1^4=15$, mentre, per k = 3, 7 divide $2^3-1^3=7$ .

Questo teorema generalizza quello di Bang, il quale afferma che se n > 1 e n non è uguale a 6, allora 2ⁿ − 1 ha un divisore primo che non divide 2^k − 1 per ogni k < n.

Analogamente, aⁿ + bⁿ ha almeno un divisore primitivo primo con l'eccezione 2³ + 1³ = 9.

Il teorema di Zsigmondy è spesso utile, specialmente nella teoria dei gruppi, per dimostrare che vari gruppi hanno ordini distinti eccetto quando sono noti essere gli stessi.

Storia

Il teorema è stato scoperto da Zsigmondy mentre lavorava a Vienna dal 1895 fino al 1925

Generalizzazioni

Sia $(a_n{)}_{n\ge 1}$ una successione di interi diversi da 0. L'insieme di Zsigmondy associato alla successione è l'insieme

$𝒵(a_n)=\{n\ge 1:a_n\text{ non ha divisori primi primitivi }p\}.$

L'insieme di Zsigmondy è dunque l'insieme degli indici $n$ tali che ogni numero primo che divide $a_n$ divide anche $a_m$ per qualche $m<n$. Così il teorema di Zsigmondy implica che $𝒵(a^n-b^n)\subset \{1,2,6\}$, e il teorema di Carmichael afferma che l'insieme Zsigmondy della successione di Fibonacci è $\{1,2,6,12\}$, e quello della successione di Pell è $\{1\}$. Nel 2001 Bilu, Hanrot, e Voutier hanno dimostrato che in generale, se $(a_n{)}_{n\ge 1}$ è una successione di Lucas o una successione di Lehmer, allora $𝒵(a_n)\subseteq \{1\le n\le 30\}$. Le successioni di Lucas e Lehmer sono esempi di successioni di divisibilità.

È noto anche che se $(W_n{)}_{n\ge 1}$ è una successione ellittica di divisibilità, allora l'insieme di Zsigmondy $𝒵(W_n)$ è finito.Tuttavia, il risultato è inefficace, nel senso che la prova non dà un esplicito limite superiore per l'elemento più grande in $𝒵(W_n)$, anche se è possibile dare un effettivo limite superiore per il numero di elementi in $𝒵(W_n)$.

Numeri di Mersenne

Un caso specifico del teorema considera $r$-esimo numero di Mersenne $M_r=2^r-1$, dunque ogni numero $M_2$, $M_3$, $M_4$, ... ha un numero primo nella fattorizzazione che non è presente nella fattorizzazione di un elemento precedente della successione, eccetto $M_6$. Ad esempio $M_1$, $M_2$, $M_3$, ... hanno i fattori 3, 7, 5, 31, (1), 127, 17, 73, 11, 23(89) , ... che non si presentano prima di $M_n$. Questi fattori, talvolta, vengono chiamati numeri di Zsigmondy ${𝒵}_s(n,2,1)$.

Bibliografia

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Voci correlate

• Numero primo
• Teorema di Carmichael
• Successione di Fibonacci
• Numeri di Mersenne
• Successione di Lucas

Collegamenti esterni

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