Identità di Palatini

In relatività generale e nel calcolo tensoriale, l'identità di Palatini, dovuta al matematico Attilio Palatini, è definita dalla formula:

$\delta R_{\sigma \nu }={\mathrm{\nabla }}_{\rho }(\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\nu \sigma }^{\rho })-{\mathrm{\nabla }}_{\nu }(\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\rho \sigma }^{\rho }),$

dove $\delta {\mathrm{\Gamma }}^{\lambda }{}_{\mu \nu }$ denota la variazione dei simboli di Christoffel e ${\mathrm{\nabla }}_{\rho }$ denota la derivata covariante.

Una analoga, pressoché identica, formula vale per la derivata di Lie ${ℒ}_{\xi }{R}_{\sigma \nu }$. Infatti, si ha:

${ℒ}_{\xi }{R}_{\sigma \nu }={\mathrm{\nabla }}_{\rho }({ℒ}_{\xi }{\mathrm{\Gamma }}_{\nu \sigma }^{\rho })-{\mathrm{\nabla }}_{\nu }({ℒ}_{\xi }{\mathrm{\Gamma }}_{\rho \sigma }^{\rho }),$

dove $\xi ={\xi }^{\rho }{\partial }_{\rho }$ denota un qualsiasi campo vettoriale definito sopra lo spaziotempo.

Bibliografia

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Voci correlate

• Derivata covariante
• Tensore di curvatura di Ricci