Gruppo modulare

In matematica, il gruppo modulare $\mathrm{\Gamma }$ è un oggetto fondamentale di studio in teoria dei numeri, geometria, algebra e in molte altre aree della matematica. Il gruppo modulare può essere rappresentato come un gruppo di trasformazioni geometriche o come un gruppo di matrici.

Definizione

Il gruppo modulare $\mathrm{\Gamma }$ è il gruppo delle trasformazioni lineari fratte del semipiano complesso superiore che hanno la forma

$z\mapsto \frac{az+b}{cz+d}$

dove $a$, $b$, $c$ e $d$ sono interi e $ad-bc=1$. L'operazione di gruppo è la composizione di funzioni. Gli elementi del gruppo sono detti trasformazioni modulari.

Questo gruppo di trasformazioni è isomorfo al gruppo lineare speciale $\mathrm{S}\mathrm{L}(2,\mathbb{Z})$ quozientato con il suo centro $\{I,-I\}$, dove $I$ è la matrice identità. Ciò equivale a dire che il gruppo modulare è isomorfo al gruppo speciale lineare proiettivo $\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}(2,\mathbb{Z})$, che consiste nelle matrici

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

dove $a$, $b$, $c$ e $d$ sono interi, $ad-bc=1$ e le matrici $A$ e $-A$ sono considerate uguali.

Presentazione

Le trasformazioni

$S:z\mapsto -\frac{1}{z},$

$T:z\mapsto z+1,$

generano il gruppo modulare, cioè ogni elemento di $\mathrm{\Gamma }$ può essere scritto (in modo non unico) come la composizione di potenze di $S$ e $T$.

Geometricamente $S$ rappresenta l'inversione rispetto alla circonferenza unitaria seguita dalla riflessione rispetto alla retta $\mathrm{R}\mathrm{e}(z)=0$, mentre $T$ rappresenta la traslazione unitaria a destra.

I generatori $S$ e $T$ soddisfano le relazioni $S^2=1$ e $(ST{)}^3=1$. Si dimostra che queste sono un insieme completo di relazioni, quindi il gruppo modulare ha presentazione

$\mathrm{\Gamma }\cong ⟨S,T\mid S^2=I,(ST{)}^3=I⟩.$

Voci correlate

• Trasformazione di Möbius
• Semipiano superiore complesso
• Semispazio di Poincaré
• Forma modulare
• Curva modulare
• Mapping class group