Potenziale di Liénard-Wiechert

In fisica, il potenziale di Liénard-Wiechert è il potenziale elettromagnetico generato da una carica elettrica in moto.

L'espressione del potenziale è stata sviluppata in parte da Alfred-Marie Liénard nel 1898, e successivamente nel 1900 da Emil Wiechert in un modo indipendente da quello di Liénard.

Definizione

Il potenziale elettromagnetico $A^{\alpha }(x)=(\phi ,𝐀)$ generato nel punto $x=(x_0,𝐱)$ da una sorgente puntiforme di carica in moto $e$ è dato da:

$A^{\alpha }(x)=\frac{e{V}^{\alpha }(\tau ={\tau }_0)}{V\cdot [x-r(\tau ={\tau }_0)]}{x}_0>r_0({\tau }_0)$

dove $V^{\alpha }(\tau )=\gamma (c,{𝐯}_s)$ è la quadrivelocità della carica, $r^{\alpha }(\tau )=(r_0,{𝐫}_s)$ la sua posizione e $\tau$ il tempo proprio. Nell'equazione la velocità e la posizione vengono valutati al tempo ${\tau }_0$, che è definito dalla condizione del cono di luce:

$[x-r({\tau }_0){]}^2=0$

Tale condizione implica che:

$x_0-r_0({\tau }_0)=|𝐱-{𝐫}_s({\tau }_0)|$

e pertanto permette di scrivere:

$\begin{array}{cc}V\cdot (x-r)& =\gamma c(x_0-r_0({\tau }_0))-\gamma {𝐯}_s\cdot (𝐱-{𝐫}_s({\tau }_0))\\ & =\gamma c|𝐱-{𝐫}_s({\tau }_0)|-\gamma {𝐯}_s\cdot 𝐧|𝐱-{𝐫}_s({\tau }_0)|\\ & =\gamma c|𝐱-{𝐫}_s({\tau }_0)|(1-\mathit{\beta }\cdot 𝐧)\end{array}$

con $𝐧$ vettore unitario che ha la direzione di $𝐱-{𝐫}_s(\tau )$.

Si ottiene in questo modo una forma equivalente, ma non covariante, del potenziale elettrico $\phi$ e del potenziale magnetico $𝐀$ generati da una sorgente puntiforme di carica in moto:

$\phi (𝐱,t)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}{\left(\frac{e}{(1-𝐧\cdot \mathit{\beta })|𝐱-{𝐫}_s(\tau )|}\right)}_{\tau ={\tau }_0}𝐀(𝐱,t)=\frac{{\mu }_{0}c}{4\pi }{\left(\frac{e\mathit{\beta }}{(1-𝐧\cdot \mathit{\beta })|𝐱-{𝐫}_s(\tau )|}\right)}_{\tau ={\tau }_0}=\frac{\mathit{\beta }(\tau ={\tau }_0)}{c}\phi (𝐱,t)$

con:

$\mathit{\beta }(t)=\frac{{𝐯}_s(t)}{c}$

Campi ritardati

Utilizzando la definizione dei campi elettrico e magnetico:

$𝐄=-\mathrm{\nabla }\phi -\frac{\partial 𝐀}{\partial t}𝐁=\mathrm{\nabla }\times 𝐀$

si ottiene per il campo elettrico:

$𝐄(𝐱,t)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}{(\frac{q(𝐧-\mathit{\beta })}{{\gamma }^2(1-𝐧\cdot \mathit{\beta }{)}^3|𝐱-{𝐫}_s(\tau ){|}^2}+\frac{q𝐧\times ((𝐧-\mathit{\beta })\times \dot{\mathit{\beta }})}{c(1-𝐧\cdot \mathit{\beta }{)}^3|𝐱-{𝐫}_s(\tau )|})}_{\tau ={\tau }_0}$

e per il campo magnetico:

$𝐁(𝐱,t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }{(\frac{qc(\mathit{\beta }\times 𝐧)}{{\gamma }^2(1-𝐧\cdot \mathit{\beta }{)}^3|𝐱-{𝐫}_s(\tau ){|}^2}+\frac{q𝐧\times (𝐧\times ((𝐧-\mathit{\beta })\times \dot{\mathit{\beta }}\left)\right)}{(1-𝐧\cdot \mathit{\beta }{)}^3|𝐱-{𝐫}_s(\tau )|})}_{\tau ={\tau }_0}=\frac{𝐧(\tau ={\tau }_0)}{c}\times 𝐄(𝐱,t)$

con:

$\mathit{\beta }(t)=\frac{{𝐯}_s(t)}{c}𝐧(t)=\frac{𝐫-{𝐫}_s(t)}{|𝐫-{𝐫}_s(t)|}\gamma (t)=\frac{1}{\sqrt{1-|\mathit{\beta }(t){|}^2}}$

dove $\gamma$ è il fattore di Lorentz. il termine $𝐧-\mathit{\beta }$ nell'espressione del campo elettrico impone che la direzione del primo termine del campo sia lungo la congiungente con la posizione della carica, mentre il secondo termine, dovuto all'accelerazione della carica, è perpendicolare a $𝐧-\mathit{\beta }$.

L'espressione dei campi è in questo modo data dalla somma di due contributi: il primo è detto campo di Coulomb generalizzato e decresce come il reciproco del quadrato della distanza dalla carica, il secondo è detto campo di radiazione e decresce come il reciproco della distanza dalla sorgente, e quindi è dominante lontano dalla carica. In entrambi i casi il campo di Coulomb generalizzato è relativo alla velocità della carica, mentre il campo di radiazione è generato dall'accelerazione.

Deduzione dai potenziali ritardati

Template:Vedi anche La soluzione al tempo ritardato dell'equazione per i potenziali elettromagnetici è la seguente:

$\phi (𝐫,t)=\int \frac{\delta (t^{\prime }+\frac{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{c}-t)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}\rho ({𝐫}^{\prime },t^{\prime }){\mathrm{d}}^3{r}^{\prime }\mathrm{d}{t}^{\prime }𝐀(𝐫,t)=\int \frac{\delta (t^{\prime }+\frac{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{c}-t)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}𝐉({𝐫}^{\prime },t^{\prime }){\mathrm{d}}^3{r}^{\prime }\mathrm{d}{t}^{\prime }$

dove $\rho (𝐫,t)$ e $𝐉(𝐫,t)$ sono i termini sorgente, e:

$\delta (t^{\prime }+\frac{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{c}-t)$

è la delta di Dirac. Per una carica che si muove in ${𝐫}_0(t^{\prime })$ con velocità ${𝐯}_0(t^{\prime })$, le densità di carica e corrente assumono la forma:

$\rho ({𝐫}^{\prime },t^{\prime })=q\delta ({𝐫}^{\prime }-{𝐫}_0(t^{\prime }))𝐉({𝐫}^{\prime },t^{\prime })=q{𝐯}_0(t^{\prime })\delta ({𝐫}^{\prime }-{𝐫}_0(t^{\prime }))$

Se si integra sul volume ${\mathrm{d}}^3{r}^{\prime }$, utilizzando la relazione precedente si ottiene:

$\phi (𝐫,t)=q\int \frac{\delta (t^{\prime }+\frac{|𝐫-{𝐫}_0(t^{\prime })|}{c}-t)}{|𝐫-{𝐫}_0(t^{\prime })|}\mathrm{d}{t}^{\prime }𝐀(𝐫,t)=q\int \frac{\delta (t^{\prime }+\frac{|𝐫-{𝐫}_0(t^{\prime })|}{c}-t)}{|𝐫-{𝐫}_0(t^{\prime })|}{𝐯}_0(t^{\prime })\mathrm{d}{t}^{\prime }$

ed integrando in $t^{\prime }$ si trovano i potenziali di Liénard-Wiechert.

Equazione di Larmor

Template:Vedi anche Se si trascura il campo di Coulomb generalizzato, la componente radiale del vettore di Poynting, risultante dall'espressione di Liénard–Wiechert dei campi, è data da:

$[𝐒\mathbf{\cdot }\widehat{𝐧}{]}_{\tau ={\tau }_0}=\frac{q^2}{16{\pi }^2{\epsilon }_{0}c}\left\{\frac{1}{R^2}{\left|\frac{\widehat{𝐧}\times [(\widehat{𝐧}-\overrightarrow{\beta })\times \dot{\overrightarrow{\beta }}]}{(1-\overrightarrow{\beta }\mathbf{\cdot }\widehat{𝐧}{)}^3}\right|}^2\right\}$

dove il secondo membro, a differenza del primo, non è valutato al tempo ritardato.

La relazione spaziale tra $\overrightarrow{\beta }$ e $\dot{\overrightarrow{\beta }}$ determina la distribuzione di potenza angolare, ed il fattore $(1-\overrightarrow{\beta }\mathbf{\cdot }\overrightarrow{𝐧})$ al denominatore mostra la presenza degli effetti relativistici nel passaggio dal sistema di riferimento a riposo della particella al sistema di riferimento dell'osservatore.

L'energia irradiata per angolo solido durante un'accelerazione tra gli istanti $t^{\prime }=T_1$ e $t^{\prime }=T_2$ è data da:

$\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}\mathrm{\Omega }}=\frac{q^2}{16{\pi }^2{\epsilon }_{0}c}\frac{|\widehat{𝐧}(t^{\prime })\times \{[\widehat{𝐧}(t^{\prime })-\overrightarrow{\beta }(t^{\prime })]\times \dot{\overrightarrow{\beta }}(t^{\prime })\}{|}^2}{[1-\overrightarrow{\beta }(t^{\prime })\mathbf{\cdot }\overrightarrow{𝐧}(t^{\prime }){]}^5}$

Integrando tale espressione su tutto l'angolo solido si ottiene la generalizzazione relativistica della formula di Larmor:

$P=\frac{q^2}{6\pi {\epsilon }_{0}c}{\gamma }^6[{\left|\dot{\overrightarrow{\beta }}\right|}^2-{|\overrightarrow{\beta }\times \dot{\overrightarrow{\beta }}|}^2]$

Distribuzione angolare della radiazione emessa da una carica in moto accelerato. Nell'immagine a destra la velocità della particella si avvicina alla velocità della luce, e l'emissione di radiazione è collimata in un cono appuntito il cui asse è diretto come la velocità.

Radiazione di sincrotrone

Template:Vedi anche Se la carica compie un moto circolare la sua accelerazione $\dot{\overrightarrow{\beta }}$ è perpendicolare alla velocità $\overrightarrow{\beta }$. Se si sceglie un sistema di coordinate tale per cui $\overrightarrow{\beta }$ è istantaneamente in direzione z e $\dot{\overrightarrow{\beta }}$ in direzione x, utilizzando le coordinate polari $\theta$ e $\varphi$ per definire la direzione di osservazione, la distribuzione di potenza angolare si riduce alla seguente espressione:

$\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}\mathrm{\Omega }}=\frac{q^2}{16{\pi }^2{\epsilon }_{0}c}\frac{|\dot{\overrightarrow{\beta }}{|}^2}{(1-\beta \cos \theta {)}^3}[1-\frac{{\sin }^2\theta {\cos }^2\varphi }{{\gamma }^2(1-\beta \cos \theta {)}^2}]$

Nel limite relativistico per velocità prossime alla velocità della luce, in cui $\gamma \gg 1$, la distribuzione angolare può approssimativamente essere scritta come:

$\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}\mathrm{\Omega }}\approx \frac{q^2}{2{\pi }^2{\epsilon }_0{c}^3}{\gamma }^6\frac{|\dot{𝐯}{|}^2}{(1+{\gamma }^2{\theta }^2{)}^3}[1-\frac{4{\gamma }^2{\theta }^2{\cos }^2\varphi }{(1+{\gamma }^2{\theta }^2{)}^2}]$

dove i fattori $(1-\beta \cos \theta )$ al denominatore restringono la distribuzione angolare in un fascio di luce conico e sempre più stretto al crescere della velocità, distribuito in un piccolo angolo intorno a $\theta =0$.

Bibliografia

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Collegamenti esterni

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