Numero di Nusselt

Il numero di Nusselt, $\mathrm{N}\mathrm{u}$, è il gruppo adimensionale che esprime il rapporto tra il flusso di calore scambiato per convezione e il flusso di calore scambiato per conduzione.

Prende il nome dall'ingegnere tedesco Ernst Kraft Wilhelm Nusselt.

Il suo analogo per lo scambio di materia è il numero di Sherwood.

Definizione matematica

Il numero di Nusselt può essere espresso dalla seguente relazione:

$\mathrm{N}\mathrm{u}=\frac{hd}{\lambda }$

dove (indicando le unità di misura secondo il SI):

• $h$ è il coefficiente di scambio termico, anche detto coefficiente convettivo in $\left[\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}{\mathrm{K}}^{-1}\right]$;
• $d$ è la lunghezza caratteristica in $\left[\mathrm{m}\right]$, che dipende dal caso preso in esame (generalmente è pari al diametro equivalente del condotto);
• $\lambda$ è la conduttività termica in $\left[\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-1}{\mathrm{K}}^{-1}\right]$.

Derivazione dalla legge di Fourier

Il numero di Nusselt si ottiene adimensionalizzando la legge di Fourier:

$𝐪=-\lambda \mathrm{\nabla }T$

dove:

• $𝐪$ è la densità di flusso termico in $\left[\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}\right]$;
• $\lambda$ è la conduttività termica;
• $T$ la temperatura nel fluido in $\left[\mathrm{K}\right]$.

Introducendo le seguenti quantità adimensionalizzate:

${\mathrm{\nabla }}^{\prime }=d\mathrm{\nabla }$

$T^{\prime }=\frac{T-T_h}{T_h-T_c}$

si ha:

$-{\mathrm{\nabla }}^{\prime }{T}^{\prime }=\frac{𝐪}{(T_h-T_c)}\frac{d}{\lambda }=\frac{hd}{\lambda }$

dove si è utilizzata l'equazione $𝐪=h(T_h-T_c)$.

L'equazione quindi diventa:

$\mathrm{N}\mathrm{u}=-{\mathrm{\nabla }}^{\prime }{T}^{\prime }$

Interpretazione fisica

Il numero di Nusselt rappresenta l’incremento della potenza termica trasmessa per convezione attraverso uno strato di fluido rispetto a quella trasmessa per conduzione attraverso lo stesso strato.

Il valore unitario $(\mathrm{N}\mathrm{u}=1)$ è caratteristico della trasmissione del calore per conduzione pura attraverso lo strato di fluido. All'aumentare del valore di $\mathrm{N}\mathrm{u}$ risulta sempre più sviluppato il fenomeno della convezione.

Può essere visto anche come il rapporto tra la resistenza al trasporto di calore per diffusione e quella al trasporto di calore per convezione.

$\mathrm{N}\mathrm{u}=\frac{hd}{\lambda }=\left(\frac{d}{\lambda A}\right)/\left(\frac{1}{hA}\right)=\frac{R_{diffusione}}{R_{convezione}}$

Applicazioni

Il numero di Nusselt viene utilizzato nei problemi di convezione termica, in quanto la sua determinazione permette di conoscere il coefficiente di scambio termico convettivo fra il fluido e la parete. Può perciò essere utile conoscerne il valore medio sulla parete in considerazione, ottenuto come media integrale:

$\overline{\mathrm{N}\mathrm{u}}=-\frac{1}{S^{\prime }}\underset{S^{\prime }}{\overset{}{\int }}\mathrm{N}\mathrm{u}\mathrm{d}{S}^{\prime }$

dove:

$S^{\prime }=\frac{S}{d^2}$

Generalmente il numero di Nusselt è valutato in funzione del numero di Prandtl e del numero di Grashof per convezione naturale, oppure in funzione del numero di Prandtl e del numero di Reynolds per convezione forzata.
In particolare nel caso di convezione naturale può essere determinato dalla relazione seguente:

$\mathrm{N}\mathrm{u}=C{\mathrm{G}\mathrm{r}}^n{\mathrm{P}\mathrm{r}}^m$

mentre nel caso di convezione forzata può essere determinato dalla relazione seguente:

$\mathrm{N}\mathrm{u}=C{\mathrm{R}\mathrm{e}}^n{\mathrm{P}\mathrm{r}}^m$

Bibliografia

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Voci correlate

• Coefficiente di scambio termico
• Numero di Stanton
• Numero di Scherwood