Matrice trasposta

In matematica, la matrice trasposta di una matrice è la matrice ottenuta scambiandone le righe con le colonne. Fu introdotta nel 1858 dal matematico britannico Arthur Cayley.

Definizione

La trasposta di una matrice $A$ è la matrice $A^T$ il cui generico elemento con indici $(i,j)$ è l'elemento con indici $(j,i)$ della matrice originaria. In simboli:

${\left(A^T\right)}_{ij}=A_{ji}\mathrm{\forall }A\in {𝐊}^{m,n}1\le i\le m,1\le j\le n$

con ${𝐊}^{m,n}$ lo spazio vettoriale delle matrici di dimensione n. In pratica, la matrice trasposta si deve intendere come una matrice in cui le colonne diventano righe e le righe diventano colonne.

L'operazione di trasposizione è definita sia su matrici quadrate che rettangolari, e quindi anche su vettori. In particolare, un vettore colonna trasposto è un vettore riga, e viceversa.

Una matrice che coincide con la propria trasposta è detta matrice simmetrica, e deve essere una matrice quadrata. Uno scalare può essere visto come un caso particolare di matrice simmetrica 1 × 1, ed è pertanto invariante alla trasposizione. Quindi, sebbene in generale date due matrici $A$ e $B$ di dimensioni opportune si abbia che:

$(AB{)}^T=B^T{A}^T\ne A^T{B}^T$

l'operatore di trasposizione è lineare, ovvero, dati due scalari $k$ ed $l$, vale:

$(kA+lB{)}^T=(kA{)}^T+(lB{)}^T=k{A}^T+l{B}^T$

Più in generale, dati N scalari $k_i$ ed N matrici $A_i$ di pari dimensioni, vale:

${\left(\sum _{i=1}^N{k}_i{A}_i\right)}^T=\sum _{i=1}^N{k}_i{A}_i^T$

dove $\sum$ indica una sommatoria.

Proprietà

Valgono le seguenti proprietà:

• La trasposta della trasposta è la matrice stessa:

${\left(A^T\right)}^T=A$

• La trasposta della somma di due matrici è uguale alla somma delle due matrici trasposte:

$(A+B{)}^T=A^T+B^T$

• L'ordine delle matrici si inverte per la moltiplicazione:

${\left(AB\right)}^T=B^T{A}^T$

Questo risultato è facilmente estendibile al caso più generale, dove si considerano più matrici:

${(ABC\dots XYZ)}^T=Z^T{Y}^T{X}^T\dots C^T{B}^T{A}^T$

• Se $c$ è uno scalare, la trasposta di uno scalare è lo scalare invariato:

$(cA{)}^T=c{A}^T$

• Nel caso di matrici quadrate, il determinante della trasposta è uguale al determinante della matrice iniziale:

$\det (A^T)=\det (A)$

• Il prodotto scalare tra due vettori colonna $𝐚$ e $𝐛$ può essere calcolato come:

$𝐚\cdot 𝐛={𝐚}^T𝐛,$

che può essere scritto usando la notazione di Einstein come $a_i{b}^i$.

• Se $A$ ha solamente elementi reali, allora $A^{T}A$ è una matrice simmetrica semidefinita positiva.
• La trasposta di una matrice invertibile è ancora invertibile e la sua inversa è la trasposta dell'inversa della matrice iniziale:$(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$
• Se $A^T=A^{-1}$ allora la $A$ è una matrice ortogonale
• Se $A$ è una matrice quadrata, allora i suoi autovalori sono uguali agli autovalori della sua trasposta.

Trasposta di applicazioni lineari

Template:Vedi anche Se $V$ e $W$ sono due spazi vettoriali di dimensione finita sullo stesso campo e $f:V\to W$ è un'applicazione lineare, si può definire l'applicazione duale di $f$ come la mappa $f^{*}:W^{*}\to V^{*}$ tra gli spazi duali $W^{*}$ e $V^{*}$ definita da:

$f^{*}:\phi \mapsto \phi \circ f\mathrm{\forall }\phi \in W^{*}$

Fissate due basi $E$ e $F$ di $V$ e $W$ rispettivamente, si dimostra che se $A$ è la matrice associata a $f$ rispetto tali basi allora la matrice associata a $f^{*}$ rispetto alle basi duali di $E$ e di $F$ è la trasposta di $A$.

Ogni applicazione lineare $f:V\to V^{*}$ che mappa nello spazio duale definisce una forma bilineare $B:V\times V\to F$ mediante la relazione:

$B(𝐯,𝐰)=f(𝐯)(𝐰)$

Definendo la trasposta di tale funzione come la forma bilineare $t^{}B$ data dalla mappa trasposta $t^{}f:V^{**}\to V^{*}$:

$t^{}B(𝐯,𝐰){=}^{t}f(𝐯)(𝐰)$

si trova che $B(𝐯,𝐰){=}^{t}B(𝐯,𝐰)$.

Esempi

• $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 4& 8\\ 3& 2& 0\\ 5& 3& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)A^T=\left(\begin{array}{cccc}2& 3& 5& 0\\ 4& 2& 3& 1\\ 8& 0& 1& 0\end{array}\right)$

• ${\left(\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right)}^T=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$

• ${\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)}^T=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right)$

• ${\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right)}^T=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\end{array}\right)$

• ${\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 8\\ 3& 4& 3\\ 5& 6& 1\end{array}\right)}^T=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\\ 8& 3& 1\end{array}\right)$

Idea di calcolo: ruotare la matrice di 90° in senso antiorario, dopodiché scambiare la prima riga con l'ultima, la seconda con la penultima, ecc. (nel primo esempio, dopo aver ruotato la matrice $A$ di 90°, la riga 2 rimane invariata, mentre la riga 1 e 3 vengono scambiate).

Alternativamente: immaginare un asse diagonale che parte dal primo elemento in alto a sinistra e prosegue verso il basso, verso destra (45°); dopodiché "riflettere a specchio" la matrice usandolo come asse di simmetria.

Alternativamente ancora: fissare una direzione di lettura della matrice (per esempio, per righe o per colonne), e ciò che nella matrice era la prima riga, nella sua trasposta diventa la prima colonna; ciò che era la seconda riga, diventa la seconda colonna, e via così.

Bibliografia

• Template:En F.R. [F.R. Gantmakher] Gantmacher, The theory of matrices , 1 , Chelsea, reprint (1959) pp. 19

Voci correlate

• Base duale
• Forma bilineare
• Matrice
• Matrice simmetrica
• Trasformazione lineare
• Spazio duale

Collegamenti esterni

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