Regola del rettangolo

Esempio di approssimazione tramite rettangoli, con un numero crescente di sottointervalli

La regola del rettangolo o regola del punto medio è il più semplice procedimento di integrazione numerica per approssimare un integrale definito nella forma :$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$.

Tale formula approssima l'integrale (e quindi l'area sottesa dalla funzione) come un rettangolo di base $b-a$ e di altezza $f(c)$, dove a e b sono gli estremi di integrazione e c è il punto medio dell'intervallo, ottenendo un'espressione finale per l'integrale pari a: $I_r=(b-a)f(c)=(b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right)$

Formula composita

Illustrazione del metodo del punto medio composito

Per calcolare con più accuratezza l'integrale, si divide l'intervallo di integrazione $[a,b]$ in $M$ sottointervalli di ampiezza uniforme pari a $h=\frac{b-a}{M}$

La formula del punto medio diventerà dunque $I_r^c=h\sum _{k=1}^{M}f({\overline{x}}_k)$, dove ${\overline{x}}_k$ rappresenta il punto medio del k-esimo sottointervallo.

Analisi dell'errore

L'errore sviluppato con il metodo del rettangolo, assumerà la seguente espressione: $ℰ=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx-I_r=\frac{(b-a{)}^3}{24}{f}^{″}(\xi )$, dove $\xi$ è un opportuno punto compreso nell'intervallo $[a,b]$.

Nel caso si usi il metodo composito l'errore sarà $ℰ=h^2\frac{b-a}{24}{f}^{″}(\xi )$. Dalla formula dell'errore si deduce che il metodo integra esattamente polinomi di primo grado, e che l'errore diminuisce quadraticamente rispetto all'ampiezza dei sottointervalli $h$.

Implementazione su calcolatore

In MATLAB la formula del rettangolo composita può essere implementata come segue:

function I = Ret_c(a,b,M,f)

%Dati a e b, estremi di integrazione,M numero di sottintervalli in cui dividere l'intervallo d'integrazione
%f funzione integranda, definita come inline o function handle, restituisce il valore dell'integrale approssimato

h=(b-a)/M;

x=a+h/2:h:b-h/2; 

I=h*sum(f(x));

Bibliografia

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Voci correlate

• Integrazione numerica
• Regola di Cavalieri-Simpson
• Regola del trapezio