Algebra supercommutativa

In matematica e in fisica teorica un'algebra supercommutativa è una superalgebra (cioè una algebra ${\mathbb{Z}}_2$-graduata) in cui vale una proprietà di commutazione che dipende dalla gradazione degli elementi.

Definizione

Una superalgebra$A$ è un'algebra supercommutativa se per ogni coppia $x,y\in A$ di elementi omogenei si ha:

$yx=(-1{)}^{|x||y|}xy,$

dove con $|x|$ e $|y|$ si indicano le gradazioni rispettivamente di $x$ e $y.$ In maniera equivalente, si tratta di una superalgebra in cui il supercommutatore

$[x,y]=xy-(-1{)}^{|x||y|}yx$

è sempre nullo.

La gradazione $|x|$ vale 0 per gli operatori bosonici chiamati anche elementi pari, vale invece 1 per gli operatori fermionici chiamati anche elementi dispari.

Ogni algebra commutativa (ossia ogni algebra degli operatori bosonici) è un'algebra supercommutativa se ha la gradazione banale (cioè se tutti gli elementi sono pari). Le algebre di Grassmann sono i più comuni esempi di algebre supercommutative banali. Il supercentro di qualsiasi superalgebra è l'insieme di elementi che supercommutano con tutti gli elementi, ed è un'algebra supercommutativa.

Bibliografia

• Bourbaki, Nicolas (1974) Algebra I (Chapters 1-3), ISBN 978-3-540-64243-5, Chapter 3, Section 3.
• Template:En D.V. Volkov, V.P. Akulov, Pisma Zh.Eksp.Teor.Fiz. 16 (1972) 621; Phys. Lett. B46 (1973) 109.
• Template:En V.P. Akulov, D.V. Volkov, Teor.Mat.Fiz. 18 (1974) 39.

Voci correlate

• Algebra di Lie graduata
• Algebra astratta
• Algebra supersimmetrica
• Algebra graduata
• Algebra di Super-Poincaré
• Anello commutativo
• Ideale (matematica)