Morfologia matematica

Una figura (in blu), con la sua dilatazione (in verde) e la sua erosione (in giallo).

La morfologia matematica (brevemente MM) è una teoria ed una tecnica per l'analisi delle forme geometriche. Solitamente si applica nell'elaborazione digitale delle immagini (computer grafica), ma anche in grafi, e nella geometria solida.

Storia

La Morfologia matematica è nata nel 1964 dal lavoro collaborativo di Georges Matheron e Jean Serra, alla École des mines di Parigi, in Francia. Nel 1968 fu fondato a Fontainebleau, (Francia) da École des mines il centro di morfologia matematica diretto da essi.

I primi anni hanno lavorato sulle immagini binarie trattate come insiemi e generate da un grande numero di operatori e tecniche binarie: Trasformazione hit-or-miss, espansione (o dilatazione), erosione, apertura, chiusura, granulometria, assottigliamento, scheletrizzazione, bisettore condizionale ed altri.

Operatori di base

Gli operatori di base sono invarianti alla traslazione e sono: erosione, dilatazione, apertura e chiusura. Nel seguito E indica uno spazio euclideo o una griglia discreta.

Erosione

L'erosione di un'immagine binaria A eseguita dall'elemento B è definita da:

$A\ominus B=\{z\in E|B_z\subseteq A\}$,

dove B_z è la traslazione di B grazie al vettore z, ad esempio, $B_z=\{b+z|b\in B\}$, $\mathrm{\forall }z\in E$.

Espansione

La espansione, da alcuni autori chiamata anche dilatazione, di un'immagine binaria A eseguita dall'elemento B è definita da:

$A\oplus B=\bigcup _{b\in B}{A}_b$.

L'espansione è commutativa, ovvero: $A\oplus B=B\oplus A=\bigcup _{a\in A}{B}_a$.

L'espansione può anche essere ottenuta con: $A\oplus B=\{z\in E|(B^s{)}_z\cap A\ne \varnothing \}$, dove B^s è la rotazione simmetrica di B, ovvero $B^s=\{x\in E|-x\in B\}$.

Bibliografia

• P. Soille. “Morphological Image Analysis”. Springer ed., 1999.

Voci correlate

• Potatura (morfologia)
• Scheletro morfologico
• Granulometria (morfologia)
• Trasformazione hit-or-miss
• Elemento strutturale
• Apertura (morfologia)
• Trasformazione top-hat

Collegamenti esterni

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