Gruppo di Prüfer

In matematica e più precisamente in teoria dei gruppi, il p-gruppo di Prüfer, Z(p^∞), per un numero primo p, è l'unico p-gruppo di torsione in cui ogni elemento ha esattamente p radici p-esime distinte.

Altre rappresentazioni

Il p-gruppo di Prüfer si può rappresentare anche in molti altri modi equivalenti. Ad esempio, è facile mostrare che esso è isomorfo al p-sottogruppo_di_Sylow di Q/Z formato dagli elementi che hanno ordine una potenza di p, o equivalentemente,

$𝐙(p^{\mathrm{\infty }})\cong 𝐙[1/p]/𝐙.$

Il p-gruppo di Prüfer può anche essere visto come sottogruppo del sottogruppo moltiplicativo dei complessi, C*; esso è infatti isomorfo al gruppo formato da tutte le radici pⁿ-esime dell'unità al variare di n tra i numeri naturali (e dunque è anche un sottogruppo del gruppo circolare, 'U (1)).

$𝐙(p^{\mathrm{\infty }})\cong \{\exp (2\pi in/p^m)\mid n\in {𝐙}^{+},m\in {𝐙}^{+}\}\le {ℂ}^{*}.$

Infine il p-gruppo di Prüfer si può determinare anche attraverso la sua presentazione

$𝐙(p^{\mathrm{\infty }})\cong ⟨x_1,x_2,...\mid x_1^p=1,x_2^p=x_1,x_3^p=x_2,...⟩$.

Proprietà elementari

• Il p-gruppo di Prüfer è l'unico p-gruppo che è localmente ciclico, cioè tale che ogni suo sottogruppo generato da un numero finito di elementi è ciclico. Inoltre esso è un gruppo divisibile.

• I p-gruppi di Prüfer sono gli unici gruppi infiniti i cui sottogruppi sono totalmente ordinati dall'inclusione:

$0\subset 𝐙/p\subset 𝐙/p^2\subset 𝐙/p^3\subset \cdots \subset 𝐙(p^{\mathrm{\infty }})$

Questa sequenza mostra inoltre come sia possibile rappresentare i p-gruppi di Prüfer anche come limiti diretti dei propri sottogruppi finiti.

• Nella teoria dei gruppi localmente compatti il p-gruppo di Prüfer fornito della topologia discreta è il duale di Pontryagin del gruppo compatto degli interi p-adici (e viceversa).

• Come Z-modulo, il p-gruppo di Prüfer è artiniano, ma non noetheriano, e, allo stesso modo, come gruppo è artiniano ma non noetheriano.

Voci correlate

• Interi p-adici, che possono essere definiti come il limite inverso dei sottogruppi finite del p-gruppo di Prüfer.
• Frazione diadica. Il 2-gruppo di Prüfer può essere visto come il gruppo delle frazioni diadiche modulo 1.

Collegamenti esterni

• Voce di PlanetMath.
• Voce di Encyclopaedia of Mathematics.