Gamma di Dirac

Le matrici gamma di Dirac sono un insieme di matrici che formano una rappresentazione dell'algebra di Clifford. Sono utilizzate nell'equazione di Dirac e sono state formulate per conciliare la meccanica quantistica con la relatività ristretta.

Definizione

Le matrici sono determinate dalla regola di anticommutazione che definisce l'algebra di Clifford:

$\{{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }\}=2g^{\mu \nu }I$

dove $g^{\mu \nu }$ è la metrica dello spaziotempo. Questa condizione non fissa le matrici gamma in maniera univoca, infatti hanno varie rappresentazioni.

Usando la metrica di Minkowski con segnatura $(+,-,-,-)$ deve accadere che:

${\gamma }^0={\left({\gamma }^0\right)}^{†},{\gamma }^i=-{\left({\gamma }^i\right)}^{†}$

${\gamma }^0{\gamma }^0=I,{\gamma }^i{\gamma }^i=-I$

dove $I$ è la matrice identità, ${†}^{}$ è il trasposto coniugato e $i$ un indice che va da 1 a 3. Da ciò, in quattro dimensioni:

${\gamma }^{\rho }{\gamma }_{\rho }=4I$

La rappresentazione di Dirac

Una delle rappresentazioni più diffuse per le matrici di Dirac è la seguente, detta appunto rappresentazione di Dirac, costruita a partire dalla matrice identità e dalle tre matrici di Pauli ${\sigma }^i$:

${\gamma }^i=\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }^i\\ -{\sigma }^i& 0\end{array}\right)$

${\gamma }^0=\left(\begin{array}{cc}I& 0\\ 0& -I\end{array}\right)$

In questa rappresentazione le quattro matrici di Dirac controvarianti sono:

${\gamma }^0=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right),{\gamma }^1=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ -1& 0& 0& 0\end{array}\right)$

${\gamma }^2=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& -i\\ 0& 0& i& 0\\ 0& i& 0& 0\\ -i& 0& 0& 0\end{array}\right),{\gamma }^3=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& -1\\ -1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right).$

Da queste quattro matrici è possibile costruire sedici prodotti differenti, linearmente indipendenti uno dall'altro, e che potranno essere utilizzati per costruire le osservabili fisiche dell'equazione di Dirac:

${\mathrm{\Gamma }}^S=I;{\mathrm{\Gamma }}^V={\gamma }^{\mu };{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^T={\sigma }_{\mu \nu };{\mathrm{\Gamma }}^P=i{\gamma }^0{\gamma }^1{\gamma }^2{\gamma }^3={\gamma }^5;{\mathrm{\Gamma }}^A={\gamma }^5{\mathrm{\Gamma }}^V$

dove

${\sigma }_{\mu \nu }=\frac{i}{2}[{\gamma }_{\mu },{\gamma }_{\nu }]$

Queste $\mathrm{\Gamma }$, oltre a essere una base per lo spazio delle matrici $4\times 4$, rispettano alcune regole:

1. ${\left({\mathrm{\Gamma }}^n\right)}^2=\pm 1$
2. ${\mathrm{\Gamma }}^n\ne {\mathrm{\Gamma }}^S,\mathrm{\exists }{\mathrm{\Gamma }}^m:{\mathrm{\Gamma }}^n{\mathrm{\Gamma }}^m=-{\mathrm{\Gamma }}^m{\mathrm{\Gamma }}^n$
3. ${\mathrm{\Gamma }}^n\ne {\mathrm{\Gamma }}^S,\mathrm{tr}{\mathrm{\Gamma }}^n=0$
4. ${\mathrm{\Gamma }}^a,{\mathrm{\Gamma }}^b,\mathrm{\exists }{\mathrm{\Gamma }}^n\ne {\mathrm{\Gamma }}^S:{\mathrm{\Gamma }}^a{\mathrm{\Gamma }}^b={\mathrm{\Gamma }}^n$
5. $\text{se }\sum _{i=1}^{16}{a}_i{\mathrm{\Gamma }}^i=0,\text{ allora }{a}_i=0\mathrm{\forall }i$.

Infine, combinando le $\gamma$ con gli spinori, è possibile definire una quadricorrente:

$j^{\mu }(x)=\overline{\psi }(x){\gamma }^{\mu }\psi (x)$

dove

$\overline{\psi }(x)={\psi }^{+}(x){\gamma }^0$.

Bisogna notare che gli indici che distinguono queste matrici non sono dei veri e propri indici tensoriali, perché ${\gamma }^{\mu }$ non è un quadrivettore che trasforma sotto una generica trasformazione di Lorentz ${\mathrm{\Lambda }}_{\nu }^{\mu }$ secondo:

${\gamma }^{\mu }\to {\left({\gamma }^{\mu }\right)}^{\prime }={{\mathrm{\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }{\gamma }^{\nu }$

bensì rimane invariato, per definizione:

${\left({\gamma }^{\mu }\right)}^{\prime }={\gamma }^{\mu }$.

Spesso con la "covarianza" delle matrici gamma si intende la seguente relazione:

$S^{-1}{\gamma }^{\mu }S={{\mathrm{\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }{\gamma }^{\nu }$,

dove $S=S(\mathrm{\Lambda })$ è la rappresentazione della trasformazione sugli spinori che intervengono nell'equazione di Dirac, ma questa è una proprietà soddisfatta in virtù della forma esplicita delle $S$. Una conseguenza di questo fatto è che la grandezza ${\gamma }^{\mu }{p}_{\mu }$ non è invariante, ma si trasforma come:

${\left({\gamma }^{\mu }{p}_{\mu }\right)}^{\prime }={\gamma }^{\mu }{\left({\mathrm{\Lambda }}^{-1}\right)}_{\mu }^{\nu }{p}_{\nu }=S\left({\gamma }^{\mu }{p}_{\mu }\right)S^{-1}$

e con lei lo stesso operatore di Dirac $(i\partial /-m)$ e il propagatore del campo fermionico. Si noti che l'invarianza della densità di lagrangiana e delle sezioni d'urto è conservata perché in queste grandezze la parte che trasforma con le $S$ è racchiusa tra una $\overline{\psi }$ e una $\psi$, in modo da mantenere il tutto invariante. Si noti anche che:

$p/\equiv {\gamma }^{\mu }{p}_{\mu }={\gamma }_{\mu }{p}^{\mu }$

${\left({\mathrm{\Lambda }}^{-1}\right)}_{\mu }^{\nu }{\gamma }^{\mu }{p}_{\nu }=S\left({\gamma }^{\mu }{p}_{\mu }\right)S^{-1}={(p/)}^{\prime }={\left({\gamma }^{\mu }{p}_{\mu }\right)}^{\prime }\ne {\left({\gamma }_{\mu }{p}^{\mu }\right)}^{\prime }={\mathrm{\Lambda }}_{\nu }^{\mu }{\gamma }_{\mu }{p}^{\nu }$.

La quinta matrice gamma

È una matrice definita (nel formalismo quadri-dimensionale di Dirac) come segue:

${\gamma }^5:=i{\gamma }^0{\gamma }^1{\gamma }^2{\gamma }^3=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right)$

Anche se la matrice ${\gamma }^5$ non fa parte delle quattro matrici gamma, si denota in questo modo perché retaggio di una vecchia notazione: essendo ${\gamma }^0$ la quarta matrice oltre le tre spaziali, l'apice 5 denota che sarebbe una quinta matrice con le stesse proprietà delle altre quattro.

Vale anche la relazione che segue (facilmente verificabile):

${\gamma }^5=\frac{i}{4!}{\epsilon }_{\mu \nu \alpha \beta }{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\alpha }{\gamma }^{\beta }$

Viene introdotta in meccanica quantistica relativistica perché utile per lo sviluppo di diverse argomentazioni; una su tutte è la proiezione del campo di Dirac nelle componenti "left-handed" (levogiro) e "right-handed" (destrogiro) (vedi anche chiralità):

${\psi }_L=\frac{1-{\gamma }^5}{2}\psi ,{\psi }_R=\frac{1+{\gamma }^5}{2}\psi$.

Seguono alcune delle proprietà di cui gode:

• È hermitiana:

$({\gamma }^5{)}^{†}={\gamma }^5.$

• Ha autovalori ±1:

$({\gamma }^5{)}^2=I_4.$

• Anticommuta con le altre quattro ${\gamma }^{\mu }$:

$\{{\gamma }^5,{\gamma }^{\mu }\}={\gamma }^5{\gamma }^{\mu }+{\gamma }^{\mu }{\gamma }^5=0.$

Bibliografia

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Voci correlate

• Algebra di Clifford
• Bosone (fisica)
• Diagramma di Feynman
• Equazione di Dirac
• Modello standard
• Notazione slash di Feynman
• Propagatore
• Scattering

Collegamenti esterni

• Marcello Ciafaloni Template:Collegamento interrotto (Università di Firenze)
• Roberto Casalbuoni Elettrodinamica Quantistica (Università di Firenze)
• Roberto Casalbuoni Teoria dei campi: Storia e Introduzione (Università di Firenze, 2001)