Funzione L

In teoria dei numeri analitica, con funzioni L si denotano alcuni particolari tipi di funzioni speciali definite sui numeri complessi che generalizzano la funzione zeta di Riemann, codificando informazioni aritmetiche e geometriche. Oltre alla stessa funzione zeta di Riemann, altre importanti classi di funzioni L sono le funzioni L di Dirichlet e le funzioni L di Hecke.

Serie L

Non vi è una definizione assiomatica univoca che indichi quali siano le funzioni L, e solitamente si procede "dal basso" indicando che alcune famiglie di funzioni sono funzioni L. In genere, una funzione L è definita a partire dalla sua serie L, una particolare serie di Dirichlet

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n^s}$

definita sul semipiano complesso Re(s)>σ' per qualche numero reale σ'. Questa serie viene poi prolungata analiticamente a una funzione meromorfa sul piano complesso, andando a definire la funzione L vera e propria. Ad esempio, prolungano la funzione L ottenuta prendendo a_n = χ(n), ove χ è un carattere di Dirichlet, si ottiene la funzione L di Dirichlet associata al carattere χ.

Classe di Selberg

Una possibile definizione delle funzioni L è stata proposta da Atle Selberg, che ha introdotto la Classe di Selberg. Le funzioni appartenenti a tale classe S sono le serie di Dirichlet

$F(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n^s}$

che soddisfano i seguenti 4 assiomi:

• Prolungamento analitico: esiste un numero naturale m tale che $(s-1{)}^{m}F(s)$ sia una funzione intera.

• Congettura di Ramanujan: i coefficienti crescono meno di ogni potenza, cioè

$a_n<n^{ϵ}$

per ogni ε > 0.

• Equazione funzionale: esiste una funzione della forma

$\gamma (s)=ϵQ^s\prod _{i=1}^d\mathrm{\Gamma }({\lambda }_{i}s+{\mu }_i),$

ove Γ è la funzione gamma, ϵ è un numero complesso di modulo 1, d è un intero positivo, il livello Q e gli λ_j sono numeri reali positivi, e i μ_j sono numeri complessi con parte reale non negativa, tale che la funzione

$\mathrm{\Phi }(s)=\gamma (s)F(s)$

soddisfi la relazione,

$\mathrm{\Phi }(s)=\overline{\mathrm{\Phi }(1-\stackrel{‾}{s})}.$

• Prodotto di Eulero: a₁ = 1 e, per Re(s) > 1

$\log F(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n{n}^{-s}$,

ove b_n = 0 a meno che n non sia una potenza di un primo. Inoltre, |b_n| < c n^θ per qualche θ < 1/2 e c > 0.

Bibliografia

• Jürgen Neukirch (1999): Algebraic Number Theory, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 322, Berlin: Springer-Verlag, MR1697859, ISBN 978-3-540-65399-8
• Template:Cita libro Ristampato in Collected Papers, vol 2, Springer-Verlag, Berlin (1991)

Voci correlate

• Ipotesi di Riemann generalizzata

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni
• Template:EnProgetto sulle funzioni L.
• Template:EnGlimpses of a new (mathematical) world - a breakthrough third degree transcendental L-function revealed, Physorg.com, March 13, 2008
• Template:EnCreeping Up on Riemann, Science News, April 2, 2008
• Template:Cita web