Teorema di Krasnoselskii

Template:S In matematica, il teorema di Krasnoselskii è un teorema di punto fisso che prende il nome dal matematico Mark Krasnoselskii. Riguarda l'esistenza di un punto fisso per la funzione data dalla somma di una funzione continua e compatta con una contrazione. Il risultato è stato generalizzato da Edmunds e Reinermann per il caso di una funzione non espansiva e una fortemente continua.

Enunciato di Krasnoselskii

Sia $X$ uno spazio di Banach, e $C$ un sottoinsieme di $X$ chiuso, convesso e non vuoto.

Siano $A, B : C \to X$ funzioni tali che:

allora esiste $x \in C$ che sia un punto fisso per $A + B$ , ovvero che soddisfa $A (x) + B (x) = x$ .^[1]

Sia $X$ uno spazio di Banach, e $C \subset X$ un sottoinsieme di $X$ chiuso, convesso, limitato e non vuoto. Se $F_{1} : C \to X$ è una funzione non espansiva e $F_{2} : C \to X$ una funzione fortemente continua, allora la somma $F_{1} + F_{2} : C \to X$ ha un punto fisso.^[2]

Template:EnSmart, D. R., Fixed point theorems, Cambridge Tracts in Mathematics, No. 66, Cambridge University Press, London 1974, ISBN 0-521-29833-4.
Template:EnZeidler, Eberhard: "Nonlinear functional analysis and its applications. I", Springer-Verlag, New York 1986, ISBN 0-387-90914-1.