Disequazione biquadratica

Una disequazione biquadratica è una particolare disequazione di quarto grado che si presenta nella forma:

$a{x}^4+b{x}^2+c>0$ $$(o $\ge ,\le ,<$),

dove $a,b,c$ sono numeri reali (oppure complessi) con $a\ne 0$.

Risoluzione

L'equazione associata alla disequazione $a{x}^4+b{x}^2+c>0$ è un'equazione biquadratica che si risolve imponendo la sostituzione $x^2=t$.

La disequazione data diventa pertanto una disequazione di secondo grado nella variabile $t$:

$a{t}^2+bt+c>0$

che viene risolta nell'usuale modo. Una volta trovate le soluzioni, è necessario operare la sostituzione inversa per trovare (se esistono) gli intervalli della variabile $x$ che soddisfano la disequazione di partenza.

Esempio

Si risolva la disequazione:

$2x^4+5x^2-12\ge 0$

Operando la sostituzione $x^2=t$, si ottiene la disequazione di secondo grado completa:

$2t^2+5t-12\ge 0$,

che ha soluzioni $t\le -4$ e $t\ge \frac{3}{2}$. Ritornando nella variabile $x$, si ottiene:

• $x^2\le -4$ che non possiede soluzioni nel campo dei numeri reali.
• $x^2\ge \frac{3}{2}$, che a sua volta è una disequazione di secondo grado pura con soluzioni $x\le -\frac{\sqrt{6}}{2}$ e $x\ge \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Si noti che nell'insieme dei numeri complessi una disequazione, così come un'equazione, di quarto grado possiede sempre $4$ soluzioni (tante quante sono il suo grado) che possono essere tutte reali, oppure tutte complesse, oppure $2$ reali opposte e $2$ complesse coniugate.

Bibliografia

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Voci correlate

• Disequazione
• Disequazione intera
• Disequazione di secondo grado

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