Disequazione intera

Una disequazione si dice disequazione intera se, messa in forma normale, si presenta nella forma

$P(x)\le 0$ oppure $P(x)<0$ oppure $P(x)>0$ oppure $P(x)\ge 0$

dove $P(x)$ è un polinomio nella lettera x. In base al grado del polinomio la disequazione intera sarà di primo, secondo, terzo grado,...

Esempi

$2x+1<0$ è una disequazione intera di primo grado.

$x^2-10x+9>0$ è una disequazione intera di secondo grado.

$x^3\le 1$ è una disequazione intera di terzo grado, ma non in forma normale.

$\frac{x+3}{x}>x-2$ è una disequazione fratta, in quanto l'incognita è presente anche a denominatore.

Risoluzione disequazioni intere di primo grado

Fare riferimento alla voce Disequazione.

Risoluzione disequazioni intere di secondo grado

Fare riferimento alla voce disequazione di 2° grado.

Risoluzione disequazioni intere di grado superiore al secondo

Vi sono due metodi risolutivi.

Metodo della scomposizione in fattori e dello studio del segno del prodotto

La procedura prevede:

1. mettere in forma normale la disequazione;
2. fattorizzare il polinomio $P(x)$ a primo membro in fattori di 1° e/o di 2º grado;
3. studiare il segno di ciascun fattore (sempre per $\ge 0$ o per $>0$ in relazione alla presenza dell'uguale nella disequazione);
4. rappresentare graficamente il segno di tutti i fattori e comporre il segno del prodotto;
5. evidenziare quei valori per cui i fattori si annullano con un simbolo particolare (ad esempio O);
6. guardando il verso della disequazione in forma normale, individuare sul grafico del segno di $P(x)$ l'insieme delle soluzioni, cioè l'intervallo dell'asse reale che soddisfa la disequazione.

Esempio 1

$x^3\le 1.$

La disequazione non è in forma normale quindi

$x^3-1\le 0.$

Fattorizzazione di $P(x)$.

$(x-1)(x^2+x+1)\le 0.$

Studio del segno dei fattori (sempre per $\ge 0$):

$F_1:x-1\ge 0\Rightarrow x\ge 1$;

$F_2:x^2+x+1\ge 0$ è una disequazione di 2° grado;

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }<0\Rightarrow$ sempre positiva in $ℝ$.

Schema del segno di $P(x)$

Soluzioni.

Si chiede che $P(x)$ sia negativo o nullo (guardare il verso della disequazione in forma normale). Le soluzioni della disequazione sono $x\le 1$.

Esempio 2

$x^4\ge 9x^2.$

La disequazione non è in forma normale quindi

$x^4-9x^2\ge 0.$

Fattorizzazione di $P(x)$.

$x^2(x^2-9)\ge 0$.

Studio del segno dei fattori (sempre per $\ge 0$).

$F_1:x^2\ge 0$ un quadrato è sempre positivo, nullo per x=0, mai negativo.

$F_2:x^2-9\ge 0$ è una disequazione di 2° grado.

$\Rightarrow$ (EA) $x^2-9=0,\mathrm{\Delta }>0,x_1=-3,x_2=+3\Rightarrow$ positiva per $x<-3\vee x>+3$.

Schema del segno di $P(x)$

Soluzioni.

Si chiede che $P(x)$ sia positivo o nullo (guardare il verso della disequazione in forma normale). Le soluzioni della disequazione sono $x\le -3\vee x=0\vee x\ge +3$.

Metodo veloce del segno di P(x)

La procedura risolutiva prevede:

1. mettere in forma normale la disequazione;
2. risolvere l'equazione associata (EA) $P(x)=0$ e trovare le soluzioni della EA con la loro molteplicità;
3. rappresentare graficamente il segno di $P(x)$ partendo sempre da destra con il segno del coefficiente della $x$ di grado massimo;
4. nello schema grafico cambiare il segno solo quando si incontra una radice (soluzione) di EA con molteplicità dispari;
5. guardando il verso della disequazione in forma normale, individuare sul grafico del segno di $P(x)$ l'insieme delle soluzioni, cioè l'intervallo dell'asse reale che soddisfa la disequazione.

Esempio 3

$x^3\le 1.$

La disequazione non è in forma normale quindi:

$x^3-1\le 0.$

Equazione associata (EA) $P(x)=0$

$x^3-1=0.$

Si tratta di una equazione binomia con un'unica soluzione $x=1$ con molteplicità 1. Il coefficiente della $x$ di grado massimo vale 1 (positivo) dunque:

schema del segno di $P(x)$ File:Diseqint03.jpg

Soluzioni.

Si chiede che $P(x)$ sia negativo o nullo (guardare il verso della disequazione in forma normale). Le soluzioni della disequazione sono $x\le 1$.

Esempio 4

$-2x^7+8x^6\le 0.$

La disequazione è in forma normale.

Equazione associata (EA)

$-2x^7+8x^6=0.$

Si tratta di una equazione generica che va risolta mediante scomposizione

$x^6(-2x+8)=0.$

Le cui soluzioni sono $x=0$ con molteplcità 6 e $x=4$ con molteplcità 1. Il coefficiente della $x$ di grado massimo vale -2 (negativo) dunque:

schema del segno di $P(x)$ File:Diseqint04.jpg

Attenzione: in $x=0$ il segno non cambia perché ha molteplicità 6 (pari).

Soluzioni.

Si chiede che $P(x)$ sia negativo o nullo (guardare il verso della disequazione in forma normale). Le soluzioni della disequazione sono $x\ge 4\vee x=0$.

Esempio 5

$x^4-9x^2\ge 0.$

La disequazione è in forma normale.

Equazione associata (EA)

$x^4-9x^2=0.$

Si tratta di una equazione generica che va risolta mediante scomposizione

$x^2(x^2-9)=0.$

Le cui soluzioni sono $x=0$ con molteplcità 2 e $x=-3$ e $x=3$ con molteplcità 1. Il coefficiente della $x$ di grado massimo vale 1 (positivo) dunque:

schema del segno di $P(x)$ File:Diseqint05.jpg

Attenzione: in $x=0$ il segno non cambia perché ha molteplicità 2 (pari).

Soluzioni.

Si chiede che $P(x)$ sia positivo o nullo (guardare il verso della disequazione in forma normale). Le soluzioni della disequazione sono $x\le -3\vee x=0\vee x\ge +3$.

Casi particolari

Potenze con esponente pari

$(x-3{)}^4<0.$

Questa disequazione presenta a primo membro una potenza con esponente pari. Una potenza con esponente pari è sempre positiva o nulla, mai negativa. Quindi, anche se la disequazione non è in forma normale, sappiamo che non sarà mai verificata.

$S=\varnothing .$

Potenze con esponente dispari

$(2x+1{)}^3\ge 0.$

Questa disequazione presenta al primo membro una potenza con esponente dispari. Una potenza con esponente dispari segue il segno della base. Quindi, anche se la disequazione non è in forma normale, sappiamo sarà verificata quando

$2x+1\ge 0\Rightarrow x\ge -\frac{1}{2}.$

Disequazioni intere con polinomio già fattorizzato

$(x-5{)}^4(x+1{)}^3(x^4-16{)}^4<0.$

Questa disequazione presenta a primo membro già un polinomio fattorizzato. In questo caso conviene usare il metodo del segno dei fattori

$F_1:(x-5{)}^2\ge 0$ è una potenza con esponente pari, dunque positiva sempre eccetto in $x=5$ dove vale 0;

$F_2:(x+1{)}^3\ge 0$ è una potenza con esponente dispari, dunque segue il segno della base $x\ge -1$;

$F_3:(x^4-16{)}^4\ge 0$ è una potenza con esponente pari, dunque sempre positiva o nulla per $x^4-16=0\Rightarrow x^4=16\Rightarrow x=\pm 2$.

Schema del segno

Soluzioni.

$P(x)$ deve essere negativo, quindi per $x<-1\wedge x\ne -2$.

Disequazioni di quarto grado riconducibili al secondo

Un caso particolare di disequazione di quarto grado è il seguente:

$a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+bx+a\le 0$ (oppure $\ge 0$).

Questo tipo di disequazioni si risolve effettuando una divisione membro a membro per $x^2\ne 0$, ossia:

$\frac{a{x}^4}{x^2}+\frac{b{x}^3}{x^2}+\frac{c{x}^2}{x^2}+\frac{bx}{x^2}+\frac{a}{x^2}\le 0,$

e quindi, semplificando e raccogliendo i fattori comuni si ottiene:

$a(x^2+\frac{1}{x^2})+b(x+\frac{1}{x})+c\le 0,$

poi si prosegue ponendo $t$ e $t^2$ come segue:

$t=x+\frac{1}{x}$, da cui (elevando al quadrato entrambi i membri) si ottiene:

$x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2.$

Sostituendo $t$ e $t^2$ nella disequazione precedente si ha una comune disequazione di secondo grado:

$a{t}^2+bt+c-2a\le 0.$

Dopo aver risolto la disequazione di secondo grado operiamo la sostituzione inversa di $t=x+\frac{1}{x}$ (è molto importante fare attenzione al dominio di risoluzione della disequazione di secondo grado).

Se nella disequazione ottenuta non compare il termine di secondo grado:

$a{x}^4+b{x}^3-bx-a\le 0,$

allora si raccolgono i fattori comuni e si ottiene:

$(x^2-1)(a{x}^2+bx+a)\le 0.$

Bibliografia

• Template:ItDodero, Baroncini, Manfredi (1999): Lineamenti di Matematica 2 per il biennio delle scuole superiori, 2th edition, Ghisetti e Corvi Editori

Voci correlate

• Disequazione
• Disequazione quadratica
• Disequazione fratta

Collegamenti esterni

• sito con videolezioni sulle disequazioni appuntidimatematica.org