Funzione gaussiana

Funzioni gaussiane per diversi valori medi ($\mu$) e vari valori di ${\sigma }^2$.

In matematica, una funzione gaussiana prende il nome dal matematico tedesco Carl Friedrich Gauss ed è una funzione della seguente forma:

$f(x)=a{e}^{-\frac{(x-b{)}^2}{c^2}},$

per qualunque costante reale $a>0$, $b$ e $c$.

Le funzioni gaussiane con $c^2=2$ sono autofunzioni della trasformata di Fourier.

Integrazione

Le funzioni gaussiane si collocano tra le funzioni speciali "elementari" a cui mancano però "integrali elementari" in quanto i loro integrali non possono essere espressi mediante composizioni semplici (operazioni razionali e radicali) di funzioni elementari. Tuttavia i loro integrali impropri, dove l'integrazione è fatta su tutta la retta reale, possono essere valutati esattamente:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }.$

Questo integrale, detto integrale di Gauss, può essere ottenuto tramite il teorema dei residui dell'analisi complessa, ma può anche calcolarsi con un procedimento analitico semplice.

Dimostrazione

Ponendo $I=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx$,

si ha che:

$I^2=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-y^2}dy\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-(y^2+x^2)}dydx.$

Passiamo a coordinate polari cioè poniamo:

$x=r\cos \theta$

$y=r\sin \theta$

tenendo presente il primo quadrante, e con i valori di $r,\theta$ (rispettivamente raggio e angolo) compresi tra:

$0<r<+\mathrm{\infty }$ e $0<\theta <\frac{\pi }{2}$

Rispolverando il teorema di Pitagora per cui $y^2+x^2=r^2$, si può quindi scrivere:

$I^2=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left(\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}r{e}^{-r^2}dr\right)d\theta ,$

da cui:

$I^2=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}(-\frac{1}{2}{e}^{-r^2}{|}_0^{+\mathrm{\infty }})d\theta =\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}d\theta =\frac{\pi }{4}.$

Notando poi che la funzione gaussiana è una funzione pari, ovvero che vale $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=2\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx$, è dimostrato che $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=2\sqrt{I^2}=\sqrt{\pi }$.

Applicazioni

Le funzioni gaussiane si incontrano in numerosi capitoli della matematica, della fisica e delle altre discipline quantitative; vediamo alcuni esempi.

L'integrale della funzione gaussiana è la funzione degli errori.

In statistica e in teoria della probabilità, le funzioni gaussiane si presentano come funzioni di densità della distribuzione normale, che è la distribuzione di probabilità limite di somme sufficientemente complicate di funzioni di distribuzione, in accordo con il teorema del limite centrale.

La distribuzione normale relativa al valore atteso $\mu$ e alla deviazione standard σ e normalizzata ha la forma:

$\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}.$

Si noti che è immediato ricondurre i parametri $\mu$ e $\sigma$ ai parametri $a$, $b$ e $c$ di cui sopra.

Nello studio delle funzioni speciali la funzione gaussiana gioca il ruolo di funzione peso nella definizione dei polinomi di Hermite come polinomi ortogonali.

Una funzione gaussiana è la funzione d'onda dello stato fondamentale dell'oscillatore armonico quantistico. Di conseguenza, le funzioni gaussiane (e i corrispondenti funzionali) sono anche associati allo stato di vuoto nella teoria quantistica dei campi.

Voci correlate

• Integrale di Gauss
• Polinomi di Hermite
• Variabile casuale di Lorentz
• Glossario sulle funzioni speciali
• Distribuzione normale

Collegamenti esterni

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