Funzione definita positiva

In matematica, una funzione di variabile reale si dice definita positiva attorno ad un punto $p$ quando in corrispondenza di $p$ essa si annulli, ed intorno a $p$ essa assuma valori strettamente positivi.

L'analisi delle funzioni definite positive (e delle matrici definite positive, concetto strettamente correlato attraverso la teoria delle coniche e delle quadriche) è di estremo interesse per molte branche della matematica.

Definizione formale

Una funzione $V\left(\underset{\_}{x}\right):R^n\to R$ continua si dice definita positiva in un intorno sferico $U_{\rho }\left(p\right)$ di raggio $\rho$ di un punto $p$ se e solo se:

1. $V\left(p\right)=0$
2. $V\left(\underset{\_}{x}\right)>0$ per ogni $\underset{\_}{x}\in U_{\rho }\left(p\right),\underset{\_}{x}\ne p$

Mediante il concetto di funzione di classe k è possibile generalizzare questa definizione a funzioni qualunque. Una funzione (non necessariamente continua) $V\left(\underset{\_}{x}\right):R^n\to R$ si dice infatti definita positiva in $U_{\rho }\left(p\right)$ se:

1. $V\left(p\right)=0$
2. Esiste una funzione di classe k $\phi \left(x\right)$ tale che: $V\left(\underset{\_}{x}\right)\ge \phi \left(\Vert x\Vert \right)$ per ogni $\underset{\_}{x}\in U_{\rho }\left(p\right)$

Analisi complessa

Una funzione definita positiva di una variabile reale $x$ è una funzione complessa $f:ℝ\to ℂ$

tale che per ogni n-upla di numeri reali

x₁, ..., x_n

la matrice A ∈ M_n×n(C) di valori

a_ij = f(x_i − x_j)

è una matrice semi-definita positiva. È frequente limitarsi al caso in cui f(−x) sia il complesso coniugato di f(x), rendendo la matrice A Hermitiana.

Se una funzione f è semidefinita positiva, troviamo ponendo n = 1 che:

f(0) ≥ 0.

Ponendo n=2 e ricordando che una matrice definita positiva ha un determinante positivo otteniamo:

f(x − y)f(y − x) ≤ f(0)²

il che implica

|f(x)| ≤ f(0).

Il concetto di funzione definita positiva sorge naturalmente nella teoria della trasformata di Fourier; è facile dimostrare direttamente che essere definita positiva è una condizione necessaria perché f sia la trasformata di Fourier di una funzione g sull'asse reale con g(y) ≥ 0.

Il risultato inverso è il teorema di Bochner, che afferma che una funzione continua definita positiva sull'asse reale è la trasformata di Fourier di una misura (positiva)

Collegamenti esterni

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