Formula di Grassmann

In matematica, la formula di Grassmann è una relazione che riguarda le dimensioni dei sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale o dei sottospazi proiettivi di uno spazio proiettivo.

La formula di Grassmann, il cui nome è stato scelto in onore del matematico tedesco Hermann Grassmann, afferma inoltre che i sottospazi di uno spazio vettoriale muniti delle operazioni binarie + e $\cap$ costituiscono un reticolo modulare.

Enunciato

Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $K$ dotato di dimensione finita, cioè dotato di una base finita. Siano $W$ e $U$ due sottospazi di $V$. Indicando con $W+U$ il sottospazio somma di $W$ e $U$ dato da:

$W+U:=\{𝐰+𝐮|𝐰\in W,𝐮\in U\}$

e con $W\cap U$ il loro sottospazio intersezione, la formula di Grassmann afferma che:

$\dim (W+U)=\dim (W)+\dim (U)-\dim (W\cap U)$

Somma diretta

Template:Vedi anche Due sottospazi $U$ e $W$ sono in somma diretta se $U\cap W=\{0\}$. In questo caso la formula di Grassmann asserisce che:

$\dim (U+W)=\dim (U)+\dim (W)$

Se inoltre $V=U+W$, si dice che $V$ si decompone in somma diretta di $U$ e $W$ e si scrive:

$V=U\oplus W$

In questo caso il sottospazio $W$ è un supplementare di $U$ (e viceversa).

Ad esempio, lo spazio $M(n)$ delle matrici quadrate $n\times n$ a coefficienti in un campo $K$ si decompone nei sottospazi delle matrici simmetriche e delle antisimmetriche:

$M(n)=S(n)\oplus A(n)$

La formula di Grassmann porta all'uguaglianza concernente le dimensioni dei due sottospazi della forma:

$n^2=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{n(n-1)}{2}$

Dimostrazione

Struttura della dimostrazione

La formula si dimostra individuando due basi per $W$ e $U$ che hanno in comune i vettori che costituiscono una base per la loro intersezione. Più precisamente, si prende una base $B$ per $W\cap U$, e si completa ad una base $B\cup B_U$ di $U$, e ad una base $B\cup B_W$ di $W$. I vettori in:

$B\cup B_U\cup B_W$

generano lo spazio $U+W$, si verifica che sono indipendenti, e quindi sono una base per $U+W$. Un conteggio degli elementi nelle tre basi trovate fornisce la formula di Grassmann.

Verifica dell'indipendenza lineare

L'unico fatto che necessita di una dimostrazione approfondita è l'indipendenza dei vettori in:

$B\cup B_U\cup B_W$

che viene mostrata nel modo seguente. Sia:

$B=\{{𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_d\},B_U=\{{𝐮}_1,\dots ,{𝐮}_s\},B_W=\{{𝐰}_1,\dots ,{𝐰}_t\}$

Si supponga l'esistenza di una combinazione lineare nulla:

${\lambda }_1{𝐯}_1+\dots {\lambda }_d{𝐯}_d+{\mu }_1{𝐮}_1+\dots +{\mu }_s{𝐮}_s+{\gamma }_1{𝐰}_1+\dots +{\gamma }_t{𝐰}_t=0$

In altre parole, raggruppando:

$𝐯={\lambda }_1{𝐯}_1+\dots {\lambda }_d{𝐯}_d,𝐮={\mu }_1{𝐮}_1+\dots +{\mu }_s{𝐮}_s,𝐰={\gamma }_1{𝐰}_1+\dots +{\gamma }_t{𝐰}_t$

si ottiene:

$𝐯+𝐮+𝐰=0$

Da questo segue che $𝐰=-𝐯-𝐮$, e poiché sia $𝐯$ che $𝐮$ appartengono a $U$, ne segue che anche $𝐰$ appartiene a $U$. Quindi $𝐰$ appartiene all'intersezione $U\cap W$, e si scrive come combinazione lineare di elementi di $B$. D'altra parte, come elemento di $W$, è descritto come combinazione lineare di elementi di $B_W$: poiché ogni elemento ha un'unica descrizione come combinazione lineare di elementi di una base, ne segue che entrambe queste combinazioni hanno tutti i coefficienti nulli. Quindi:

${\gamma }_1=\dots ={\gamma }_t=0,𝐰=0$

Si ottiene quindi $𝐯+𝐮=0$. Poiché i vettori $B\cup B_U$ sono una base di $U$, sono quindi indipendenti, e ne segue che anche:

${\lambda }_1=\dots ={\lambda }_d=0,{\mu }_1=\dots ={\mu }_s=0$

Quindi i coefficienti sono tutti nulli, e l'insieme:

$B\cup B_U\cup B_W$

è formato da elementi indipendenti, ed è quindi una base.

Conteggio dimensioni

Usando le notazioni appena introdotte, il conteggio delle dimensioni dà proprio:

$\dim (U+W)=d+s+t=(d+s)+(d+t)-d=\dim U+\dim W-\dim (U\cap W)$

Dimostrazione alternativa

Si consideri la funzione:

$f:U\times W\to U+W:(u,w)\mapsto 𝐮+𝐰$

che si verifica essere un'applicazione lineare. Si ha:

$\mathrm{i}\mathrm{m}(f)=U+W\ker (f)=\{(𝐯,-𝐯):𝐯\in U\cap W\}$

Il nucleo è uno spazio vettoriale isomorfo a $U\cap W$, e l'isomorfismo è dato da:

$\varphi :\ker (f)\to U\cap W:(𝐯,-𝐯)\mapsto 𝐯$

Si ha quindi:

$\dim (U+W)+\dim (U\cap W)=\dim (\mathrm{i}\mathrm{m}(f))+\dim (\ker (f))$

$=\dim (U\times W)=\dim (U)+\dim (W)$

dove si è applicato il teorema del rango più nullità.

Dimostrazione con il teorema di isomorfismo

La formula di Grassmann può essere vista come corollario del secondo teorema di isomorfismo:

$U+W/W\cong U/U\cap W$

con $U$ e $W$ visti come gruppi (notazione additiva), e dove con $/$ si intende l'ordinario quoziente insiemistico. Infatti si ha:

$\dim (U+W/W)=\dim (U/U\cap W)$

$\dim (U+W)-\dim (W)=\dim (U)-\dim (U\cap W)$

che è la formula di Grassmann.

Esempi

Questa formula si visualizza facilmente e significativamente nel caso in cui $V$ sia lo spazio vettoriale tridimensionale sui reali ${ℝ}^3$; le possibilità per i sottospazi portano alla seguente casistica:

• Uno dei due sottospazi $W$ o $U$ ha dimensione 0 o 3: in questo caso (a meno di scambiare i nomi dei due sottospazi) si ha $W+U=U$ e $W\cap U=W$ e la formula si riduce a una identità.
• $W$ e $U$ sono sottospazi di dimensione 1 (cioè rette passanti per l'origine):
  • se le rette sono distinte $W\cap U$ contiene solo il vettore nullo ed ha dimensione 0 e $W+U$ è il piano contenente le due rette, per cui la formula si riduce a 1 + 1 = 2 + 0.
  • se coincidono $W+U=W=U=W\cap U$ e ancora si ha una identità.
• $W$ è una retta per l'origine e $U$ un piano per l'origine:
  • se la retta non giace nel piano si ha: 1 + 2 = 3 + 0;
  • se la retta giace nel piano: 1 + 2 = 2 + 1.
• $W$ e $U$ sono piani per l'origine:
  • se non coincidono la loro intersezione è una retta e si ha: 2 + 2 = 3 + 1;
  • se coincidono si ha un'identità che numericamente afferma: 2 + 2 = 2 + 2.

Bibliografia

• Template:Cita libro
• Template:Cita libro

Voci correlate

• Base (algebra lineare)
• Dimensione (spazio vettoriale)
• Somma diretta
• Sottospazio vettoriale
• Teorema della dimensione

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni