Spazio lenticolare

Template:F In matematica, uno spazio lenticolare è una particolare varietà ellittica. Si tratta di una 3-varietà avente una struttura di varietà riemanniana con curvatura sezionale ovunque pari a +1. Uno spazio lenticolare è indicato con

$L(p,q)$

e dipende da una coppia di interi coprimi $(p,q)$. Gli spazi lenticolari sono 3-varietà particolarmente semplici, il cui gruppo fondamentale è un gruppo ciclico finito.

Definizione

Sia $S^3$ l'ipersfera in ${ℝ}^4$. Identificando ${ℝ}^4$ con ${ℂ}^2$, questa può essere definita come

$S^3=\{(z,w)\in {ℂ}^2||z{|}^2+|w{|}^2=1\}.$

Sia $(p,q)$ una coppia di interi coprimi, con $p>0$. Sia $\omega$ la radice dell'unità

$\omega =e^{2\pi i/p}.$

Anche l'elemento ${\omega }^q$ è una radice primitiva $p$-esima dell'unità. Si consideri l'applicazione lineare

$f:{ℂ}^2\to {ℂ}^2$

$f(z,w)=(\omega z,{\omega }^{q}w).$

La mappa $f$ è un isomorfismo lineare su $ℂ$. Poiché $|\omega |=|{\omega }^q|=1$, la $f$ preserva la norma dei vettori e quindi manda $S^3$ in sé. Letta su ${ℝ}^4$, è rappresentata da una matrice ortogonale $4\times 4$. Si tratta quindi di una isometria di ${ℝ}^4$: in particolare, preserva $S^3$ e si restringe ad una isometria di $S^3$

$f:S^3\to S^3.$

L'isometria $f$ genera un gruppo di isometrie

$\{f,f^2,\dots ,f^p=\mathrm{i}\mathrm{d}\}$

isomorfo al gruppo ciclico di ordine $p$. Lo spazio lenticolare è lo spazio quoziente rispetto a questo gruppo di isometrie.

Proprietà

Varietà ellittica

Il gruppo di isometrie generato da $f$ agisce in modo libero e propriamente discontinuo. Il quoziente è quindi una varietà topologica compatta e la proiezione

$p:S^3\to L(p,q)$

è un rivestimento. Si tratta del rivestimento universale, poiché $S^3$ è semplicemente connessa.

Poiché la $f$ è una isometria, il quoziente $L(p,q)$ eredita una struttura di varietà riemanniana. Come $S^3$, questa ha curvatura sezionale ovunque pari a +1 ed è quindi un esempio di varietà ellittica.

Gruppo fondamentale

Il gruppo fondamentale di $L(p,q)$ è isomorfo al gruppo ciclico $\mathbb{Z}{/}_{p\mathbb{Z}}$.

Dipendenza dai parametri

Gli spazi $L(p,q)$ e $L(p^{\prime },q^{\prime })$:

• hanno lo stesso gruppo fondamentale se e solo se $p=p^{\prime }$;
• sono isometrici se e solo se sono omeomorfi, e questo accade se e solo se $p=p^{\prime }$ e

  $q_1\equiv \pm q_2^{\pm 1}(\mathrm{mod}p);$

• sono omotopicamente equivalenti se e solo se $p=p^{\prime }$ e

  $q_1{q}_2\equiv \pm n^2(\mathrm{mod}p).$

Per quanto scritto, solitamente si suppone $p>q>0$.

Tra gli spazi lenticolari vi sono quindi esempi di 3-varietà con lo stesso gruppo fondamentale ma non omotopicamente equivalenti, ad esempio

$L(5,1),L(5,2)$

e varietà omotopicamente equivalenti ma non omeomorfe, ad esempio

$L(7,1),L(7,2).$

Per $p=2$ si ottiene soltanto la varietà $L(2,1)$; in questo caso la funzione $f$ è la mappa antipodale e quindi il quoziente $L(2,1)$ è lo spazio proiettivo reale

$L(2,1)=ℝ{\mathbb{P}}^3.$

Geometrizzazione

Uno spazio lenticolare è sempre una 3-varietà irriducibile e prima.

Per la congettura di geometrizzazione di Thurston, dimostrata da Grigori Perelman, una 3-varietà compatta avente gruppo fondamentale ciclico finito è necessariamente uno spazio lenticolare.

Voci correlate

• 3-varietà
• 3-varietà prima

Collegamenti esterni

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