Gerarchia di Von Neumann

Template:F In teoria degli insiemi, si usa il termine gerarchia di Von Neumann per indicare una particolare successione parametrizzata con numeri ordinali e definita per ricorsione come segue:

$\{\begin{array}{c}{V}_0=\mathrm{\varnothing }\\ V_{\alpha +1}=𝒫(V_{\alpha })\\ V_{\lambda }=\bigcup _{\gamma \in \lambda }{V}_{\gamma }\text{con }\lambda \text{ limite}\end{array}$

(Con $𝒫(A)$ s'intende l'insieme delle parti di $A$).

Osserviamo che, mentre dato un qualsiasi ordinale $\alpha$ si ha che $V_{\alpha }$ è un insieme, l'unione

$VN=\bigcup _{\alpha \text{ ordinale}}{V}_{\alpha }$

non è un insieme, ma una classe propria, infatti chiaramente esiste una funzione classe $F:ORD\to VN$ iniettiva, ma siccome $ORD$ è una classe propria allora l'immagine iniettiva di una classe propria è una classe propria.

Proprietà

Valgono i seguenti fatti:

• $x\in y\in V_{\alpha }\Rightarrow \mathrm{\exists }\beta \in \alpha \text{ tale che }x\in V_{\beta }$
• $\beta \le \alpha \Rightarrow V_{\beta }\subseteq V_{\alpha }$
• $\alpha \subseteq V_{\alpha }\text{ ma }\alpha \notin V_{\alpha }$

Gerarchia di Von Neumann e assioma di fondazione

La gerarchia di Von Neumann assume un particolare interesse se si considera l'assioma di fondazione, infatti si dimostrano i seguenti fatti in ZFC\(Assioma di Fondazione):

$\text{Assioma di Fondazione}\iff VN=V$

Rappresentazione grafica della gerarchia di Von Neumann: notare che l'unione di tutta la gerarchia assomiglia appunto ad una "V".

In altre parole, qualora si assuma per vero l'assioma di fondazione si ottiene $VN=V$ (ricordiamo che con $V$ indichiamo la classe propria di tutti gli insiemi.

È interessante osservare che la scelta della lettera $V$ per designare tale classe, e quindi anche per indicare i vari insiemi della gerarchia, deriva dalla rappresentazione grafica a lato.

Questa raffigurazione permette anche di sottolineare la stretta relazione tra la gerarchia di Von Neumann e i concetti stessi di insiemi e classi: supponendo infatti di disegnare sul grafico alcune collezioni di oggetti, gli insiemi saranno sempre limitati da un elemento della gerarchia, le classi saranno tutte e sole le collezioni che "bucano" tutta la gerarchia verso l'alto.

Gerarchia di Von Neumann e numero beth

Sia α ordinale, allora:

$|V_{\alpha }|=\{\begin{array}{c}{}^{\alpha }2=\underset{\alpha volte}{\underbrace{2^{2^{2^{{\cdot }^{\cdot }}}}}}se\alpha \in \omega \\ {\beth }_{\alpha -\omega }se\omega ⩽\alpha \wedge \alpha \in {\omega }^2\\ {\beth }_{\alpha }se\alpha ⩾{\omega }^2\end{array}$

con ${\alpha }^{}2$ la tetrazione di 2 e ${\beth }_{\alpha }$ il numero beth associato ad $\alpha$.

Modelli di ZF

Un qualsiasi elemento della gerarchia di Von Neumann, per come è definito, rispetta gran parte degli assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo - Fraenkel. Ad esempio sarà chiuso per unione, conterrà l'insieme vuoto (con l'eccezione di $V_0$)...

Si potrebbe quindi sperare di trovare uno o più elementi della gerarchia che siano modelli della ZF, ovvero rendano veri tutti gli assiomi. È interessare esaminare alcuni casi particolari:

• $V_{\omega }$ non rispetta l'assioma dell'infinito; infatti, sebbene $V_{\omega }$ stesso sia infinito, tutti i suoi elementi sono finiti. Si dimostra facilmente che $V_{\omega }$ rispetta tutti gli altri assiomi: $V_{\omega }\models ZF\setminus \{\text{AI}\}$.
• dato un qualsiasi ordinale successore $\alpha =\beta +1$, $V_{\alpha }$ non rispetterà, tra gli altri, l'assioma della coppia: infatti $V_{\alpha }$ conterrà $V_{\beta }$ ma non il singoletto $\{V_{\beta }\}$, che non è altro che la coppia $\{V_{\beta },V_{\beta }\}$
• $V_{\omega +\omega }$ rispetta l'assioma dell'infinito (contiene $\omega$) e l'assioma della coppia (difatti $\omega +\omega$ è un ordinale limite, il più piccolo dopo $\omega$), ma non l'assioma di rimpiazzamento; infatti possiamo definire su ogni $n\in \omega$ la funzione:

$f(n)=\omega +n$

Nonostante la funzione sia ben definita $\mathrm{\forall }n\in \omega$, l'immagine di $\omega$ tramite questa funzione sarebbe $\{\omega +1,\omega +2,\omega +3,\omega +4\dots \}=\omega +\omega$, che non è un elemento di $V_{\omega +\omega }$ (nonostante ne sia un sottoinsieme).

In ultima analisi, si dimostra che un cardinale inaccessibile (maggiore di ${\mathrm{\aleph }}_0$) è tale che $V_{\alpha }$ è un modello per ZF; il fatto che la loro esistenza sia indecidibile all'interno di ZF è in linea con il secondo teorema di incompletezza di Gödel, che afferma che una teoria sufficientemente potente non può provare la propria coerenza, e quindi non si può trovare un modello per la ZF nell'ambito della ZF stessa.

Bibliografia

• F. R. Drake, Set Theory: An Introduction to Large Cardinals (Studies in Logic & the Foundations of Mathematics - Vol 76), 1974.

Voci correlate

• Assioma di regolarità
• Numero ordinale (teoria degli insiemi)
• numero beth