Numero beth

In matematica, e più precisamente in teoria degli insiemi, il numero beth indica una particolare successione di numeri cardinali. Il simbolo è bet, $\beth$, la seconda lettera dell'alfabeto ebraico.

La successione è parametrizzata sui numeri ordinali e definita per induzione transfinita come segue:

$\{\begin{array}{c}{\beth }_0={\mathrm{\aleph }}_0\\ {\beth }_{\alpha +1}=2^{{\beth }_{\alpha }}\\ {\beth }_{\lambda }=\sup \{{\beth }_{\gamma }\mid \gamma \in \lambda \}\text{con }\lambda \text{ limite}\end{array}$

Numeri beth e numeri aleph

Per le regole dell'aritmetica dei cardinali, dato un cardinale $k$ si ha che $2^k$ è la cardinalità dell'insieme di funzioni da $k$ in $\{0,1\}$, che non è altro che la cardinalità di $𝒫(k)$, l'insieme delle parti di $k$.

Alla luce di questa osservazione, il secondo "tassello" della definizione della successione può essere riscritto come:

• ${\beth }_{\alpha +1}=|𝒫({\beth }_{\alpha })|$

A questo punto si nota che i primi elementi della successione sono i cardinali più utilizzati in matematica:

• ${\beth }_0$ è la cardinalità del numerabile
• ${\beth }_1$ è la cardinalità del continuo, cioè di $ℝ$
• ${\beth }_2$ è la cardinalità di $𝒫(ℝ)$, ovvero il "numero" di insiemi di numeri reali

Sorge spontanea la domanda "Tutti i cardinali fanno parte di questa successione?"

In altre parole: la successione dei numeri $\beth$ coincide con quella dei numeri $\mathrm{\aleph }$?

Che ${\beth }_0$ coincida con ${\mathrm{\aleph }}_0$, è vero per definizione. Andando in ordine, il primo caso non banale è quindi ${\beth }_1$, la cui equivalenza con ${\mathrm{\aleph }}_1$ però non è altro che l'ipotesi del continuo, che è dimostrata essere indecidibile se ci si basa sugli assiomi standard della matematica.

In generale, l'equivalenza ${\beth }_{\alpha }={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ è la cosiddetta ipotesi generalizzata del continuo, ed è ovviamente indecidibile, dato che lo è un suo caso particolare.

Voci correlate

• Numero aleph
• Gerarchia di Von Neumann