Teorema di Radon-Nikodym

In matematica, in particolare in teoria della misura, il teorema di Radon-Nikodym è un risultato di notevole importanza nell'ambito delle misure assolutamente continue.

Il teorema è di particolare importanza nella teoria della probabilità, in quanto estende l'idea di misure discrete e misure continue di probabilità attraverso il concetto di misura di probabilità su un insieme arbitrario. Tra le applicazioni del teorema vi è inoltre la matematica finanziaria, che lo utilizza nel prezzamento dei derivati.

Il teorema

Il teorema di Radon–Nikodym afferma che se una misura $\nu$ su uno spazio misurabile $(X,\mathrm{\Sigma })$ è assolutamente continua rispetto ad una misura $\mu$ sigma-finita sullo stesso spazio, allora esiste una funzione misurabile $f$ definita su $X$ a valori non negativi tale che:

$\nu (A)=\underset{A}{\int }fd\mu$

per ogni insieme $A\in \mathrm{\Sigma }$.

Il teorema è stato dimostrato da Johann Radon nel 1913 nel caso $X={ℝ}^n$ e generalizzato da Otto Nikodym nel 1930.

La funzione $f$ si dice derivata di Radon-Nikodym di $\nu$ rispetto $\mu$ e si indica con $\frac{d\nu }{d\mu }$.

Proprietà della derivata di Radon-Nikodym

La derivata di Radon-Nikodym gode delle seguenti proprietà:

• Se $\nu \ll \mu$ e $\lambda \ll \mu$ allora:

$\frac{d(\nu +\lambda )}{d\mu }=\frac{d\nu }{d\mu }+\frac{d\lambda }{d\mu }$

• Se $\nu \ll \mu \ll \sigma$ allora:

$\frac{d\nu }{d\sigma }=\frac{d\nu }{d\mu }\frac{d\mu }{d\sigma }$

• Se g è una funzione $\nu$-integrabile su X e $\nu \ll \mu$, con $f=d\nu /d\mu$ allora:

$\int gd\nu =\int gfd\mu$

• Se $\nu$ è una misura con segno o complessa finita allora:

$\frac{d|\nu |}{d\mu }=\left|\frac{d\nu }{d\mu }\right|$

Dimostrazione

La dimostrazione riportata nel seguito si svolge nell'ambito della teoria della misura. Esiste un'altra dimostrazione, dovuta a John von Neumann, ambientata in spazi di Hilbert.

Misure finite

Per mostrare l'esistenza della derivata di Radon-Nikodym, siano $\mu$ e $\nu$ misure finite non negative, e sia $F$ l'insieme delle funzioni misurabili $f:X\to [0,+\mathrm{\infty })$ che soddisfano:

$\underset{A}{\int }fd\mu \le \nu (A)\mathrm{\forall }A\in \mathrm{\Sigma }$

L'insieme $F$ non è vuoto, poiché contiene almeno la funzione nulla. Siano $f_1,f_2\in F$, $A$ un insieme misurabile e:

$A_1=\{x\in A:f_1(x)>f_2(x)\}{A}_2=\{x\in A:f_2(x)\ge f_1(x)\}$

Allora si ha:

$\underset{A}{\int }\max \{f_1,f_2\}d\mu =\underset{A_1}{\int }{f}_{1}d\mu +\underset{A_2}{\int }{f}_{2}d\mu \le \nu (A_1)+\nu (A_2)=\nu (A)$

e dunque $\max \{f_1,f_2\}\in F$.

Sia ora $\{f_n\}$ una successione di funzioni in $F$ tali che:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{X}{\int }{f}_{n}d\mu =\underset{f\in F}{\sup }\underset{X}{\int }fd\mu$

Sostituendo $f_n$ con il max delle prime n funzioni si può assumere che la successione $\{f_n\}$ è crescente. Sia $g$ la funzione definita come:

$g(x):=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)$

Per mostrare che $g$ è la funzione cercata, cioè che il suo integrale su $A$ rispetto a $\mu$ vale esattamente $\nu (A)$, si nota che dal teorema della convergenza monotona per l'integrale di Lebesgue:

$\underset{A}{\int }gd\mu =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{A}{\int }{f}_{n}d\mu \le \nu (A)\mathrm{\forall }A\in \mathrm{\Sigma }$

e quindi $g\in F$. Inoltre, dalla costruzione di $g$ segue:

$\underset{X}{\int }gd\mu =\underset{f\in F}{\sup }\underset{X}{\int }fd\mu$

Dato che $g\in F$ succede che la scrittura:

${\nu }_0(A):=\nu (A)-\underset{A}{\int }gd\mu$

definisce una misura non negativa su $\mathrm{\Sigma }$. Supponendo quindi per assurdo ${\nu }_0\ne 0$, dato che $\mu$ è finita c'è un $\epsilon >0$ tale che ${\nu }_0(X)>\epsilon \mu (X)$. Sia allora $(P,N)$ la decomposizione di Hahn per la misura con segno ${\nu }_0-\epsilon \mu$. Per ogni $A\in \mathrm{\Sigma }$ si ha:

${\nu }_0(A\cap P)\ge \epsilon \mu (A\cap P)$

e quindi:

$\begin{array}{cc}\nu (A)& =\underset{A}{\int }gd\mu +{\nu }_0(A)\ge \underset{A}{\int }gd\mu +{\nu }_0(A\cap P)\\ & \ge \underset{A}{\int }gd\mu +\epsilon \mu (A\cap P)=\underset{A}{\int }(g+\epsilon 1_P)d\mu \\ \end{array}$

dove $1_P$ è la funzione indicatrice relativa all'insieme $P$. Essendo che:

$\underset{X}{\int }(g+\epsilon 1_P)d\mu \le \nu (X)<+\mathrm{\infty }$

la funzione $g+\epsilon 1_P\in F$ e soddisfa:

$\underset{X}{\int }(g+\epsilon 1_P)d\mu >\underset{X}{\int }gd\mu =\underset{f\in F}{\sup }\underset{X}{\int }fd\mu$

ma questo è impossibile, e quindi l'assunzione iniziale che ${\nu }_0\ne 0$ deve essere falsa.

Dato che $g$ è μ-integrabile, l'insieme $\{x\in X:g(x)=+\mathrm{\infty }\}$ è μ-nullo. Quindi $f$ è definita come:

$f(x)=\{\begin{array}{cc}g(x)& \text{se }g(x)<\mathrm{\infty }\\ 0& \text{altrimenti}\end{array}$

e possiede le proprietà richieste.

Come per l'esistenza, siano $f,g:X\to [0,+\mathrm{\infty })$ due funzioni misurabili che soddisfano:

$\nu (A)=\underset{A}{\int }fd\mu =\underset{A}{\int }gd\mu$

per ogni insieme misurabile $A$. Quindi $g-f$ è integrabile rispetto a $\mu$ e:

$\underset{A}{\int }(g-f)d\mu =0$

In particolare, questo succede per $A=\{x\in X:f(x)>g(x)\}$ o $A=\{x\in X:f(x)<g(x)\}$. Segue che:

$\underset{X}{\int }(g-f{)}^{+}d\mu =0=\underset{X}{\int }(g-f{)}^{-}d\mu$

sicché $(g-f{)}^{+}=0$ quasi ovunque. Accade lo stesso per $(g-f{)}^{-}$, e così $f=g$ quasi ovunque.

Misure positive σ-finite

Se $\mu$ e $\nu$ sono σ-finite, allora $X$ può essere scritto come l'unione di una successione $\{B_n{\}}_n$ di insiemi disgiunti in $\mathrm{\Sigma }$, ognuno dei quali ha misura finita sia rispetto a $\mu$ che $\nu$. Per ogni n esiste una funzione $\mathrm{\Sigma }$-misurabile $f_n:B_n\to [0,+\mathrm{\infty })$ tale che:

$\nu (A)=\underset{A}{\int }{f}_{n}d\mu$

per ogni sottoinsieme $A\in B_n$ che è $\mathrm{\Sigma }$-misurabile. L'unione $f$ di tali funzioni è la funzione richiesta. Come per l'unicità, dato che ogni $f_n$ è unica quasi ovunque (relativamente a $\mu$), lo è anche $f$.

Misure con segno e complesse

Template:Vedi anche Se $\nu$ è una misura σ-finita con segno, si può utilizzare la decomposizione di Hahn–Jordan $\nu ={\nu }^{+}-{\nu }^{-}$ dove una delle due misure è finita. Applicando i precedenti risultati si ottengono due funzioni $g,h:X\to [0,+\mathrm{\infty })$ che soddisfano il teorema di Radon–Nikodym per ${\nu }^{+}$ e ${\nu }^{-}$ rispettivamente, di cui almeno una è μ-integrabile. La funzione $f=g-h$ soddisfa le proprietà richieste, compresa l'unicità in quanto sia $g$ che $h$ sono uniche quasi ovunque.

Se $\nu$ è complessa, può essere decomposta come $\nu ={\nu }_1+i{\nu }_2$, dove sia ${\nu }_1$ che ${\nu }_2$ sono misure finite con segno. Procedendo come sopra, si ottengono due funzioni $g,h:X\to [0,+\mathrm{\infty })$ che soddisfano le proprietà richieste per ${\nu }_1$ e ${\nu }_2$ rispettivamente. La funzione cercata è dunque $f=g+ih$.

Bibliografia

• Template:Cita libro
• Georgij Evgen'evič Šilov, e B.L. Gurevich, Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, tradotto da Richard A. Silverman, Dover Publications, 1978, ISBN 0-486-63519-8.

Voci correlate

• Continuità assoluta
• Funzione misurabile
• Misura (matematica)
• Misura complessa
• Misura con segno
• Misura di probabilità
• Teorema di decomposizione di Hahn

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni