Decadimento esponenziale

Rappresentazione grafica di decadimenti con costanti di tempo di 25, 5, 1, 1/5, e 1/25.

Una quantità è soggetta a decadimento esponenziale se diminuisce a una velocità proporzionale al suo valore corrente.

Equazione del decadimento esponenziale

Data una quantità il cui valore è N(t) al tempo t, il decadimento esponenziale in funzione del tempo è espresso dall'equazione differenziale

$\frac{dN(t)}{dt}=-\lambda N(t).$

dove λ è un numero detto costante di decadimento. La soluzione di questa equazione è:

$N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}.$

dove $N(t)$ è la quantità al tempo $t$, e $N_0=N(0)$ è la quantità iniziale, al tempo $t=0$.

In alternativa si può scrivere

$N(t)=N_0{e}^{-t/\tau }$

dove:

$\tau =\frac{1}{\lambda }$

è detta costante di tempo ed è il tempo necessario a ridurre la quantità iniziale di circa il 63,21%.

L'equazione che descrive il decadimento esponenziale si può scrivere

$\frac{dN(t)}{N(t)}=-\lambda dt$

integrando si ottiene

$\ln N(t)=-\lambda t+C$

dove C è la costante di integrazione, e quindi

$N(t)=e^C{e}^{-\lambda t}=N_0{e}^{-\lambda t}$

dove la sostituzione finale $N_0=e^C$ è ottenuta valutando l'equazione al tempo $t=0$. Inoltre λ è l'autovalore dell'operatore differenziale con $N(t)$ la relativa autofunzione. Il decadimento si misura in s⁻¹.

Concetti derivati

Vita media

Dato un insieme di elementi, il cui numero decresce col tempo fino a diventare nullo, la vita media $\tau$ è il valore atteso del tempo che un elemento resta nell'insieme prima di esserne rimosso.

Data la quantità di elementi

$N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}$

si ha:

$1=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}c\cdot N_0{e}^{-\lambda t}dt=c\cdot \frac{N_0}{\lambda }$

con c costante di normalizzazione:

$c=\frac{\lambda }{N_0}$

Si nota che il decadimento esponenziale è un multiplo della distribuzione esponenziale, che ha un valore atteso ben noto. Usando l'integrazione per parti:

$\tau =⟨t⟩=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}t\cdot c\cdot N_0{e}^{-\lambda t}dt=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\lambda t{e}^{-\lambda t}dt=\frac{1}{\lambda }$

Decadimento in più fasi

Una quantità può decadere passando per due o più processi contemporaneamente, che in generale hanno differenti probabilità di verificarsi. Il valore di N è dato dalla somma dei possibili percorsi, e nel caso di due processi:

$-\frac{dN(t)}{dt}=N{\lambda }_1+N{\lambda }_2=({\lambda }_1+{\lambda }_2)N.$

La soluzione è data nel paragrafo precedente, dove la somma dei ${\lambda }_1+{\lambda }_2$ è trattata come una nuova costante di decadimento totale ${\lambda }_c$.

$N(t)=N_0{e}^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)t}=N_0{e}^{-({\lambda }_c)t}.$

Dal momento che $\tau =1/\lambda$:

$\frac{1}{{\tau }_c}={\lambda }_c={\lambda }_1+{\lambda }_2=\frac{1}{{\tau }_1}+\frac{1}{{\tau }_2}$

${\tau }_c=\frac{{\tau }_1{\tau }_2}{{\tau }_1+{\tau }_2}.$

Tempo di dimezzamento

Un parametro caratteristico del decadimento esponenziale è il tempo di dimezzamento, definito come il tempo occorrente per ridurre la quantità del 50%. Esso è legato alla costante di tempo dalla formula:

$t_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda }=\tau \ln 2$

La formula si ricava partendo dalla legge del decadimento radioattivo:

$N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}$

Definendo $t_{1/2}$ in tempo in cui il numero $N_0$ si dimezza, si pone:

$N(t_{1/2})=N_0{e}^{-\lambda t_{1/2}}=\frac{N_0}{2}$

Esplicitando $t_{1/2}$ si ottiene la formula del tempo di dimezzamento.

Nel caso di due processi si ha

$T_{1/2}=\frac{t_1{t}_2}{t_1+t_2}=\frac{\ln 2}{{\lambda }_c}=\frac{\ln 2}{{\lambda }_1+{\lambda }_2}$

dove $t_1$ è il tempo di dimezzamento del primo processo, e $t_2$ del secondo.

Nel caso di tre processi, infine:

$T_{1/2}=\frac{t_1{t}_2{t}_3}{(t_1{t}_2)+(t_1{t}_3)+(t_2{t}_3)}=\frac{\ln 2}{{\lambda }_c}=\frac{\ln 2}{{\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3}$

Applicazioni nelle scienze naturali

• In un radionuclide che subisce un decadimento radioattivo con cui acquista un differente stato, il numero di atomi nello stato originale segue un decadimento esponenziale.
• Se un oggetto ad una temperatura è immerso in un mezzo a temperatura differente, il calo di temperatura segue un decadimento esponenziale.
• Nei circuiti RC la carica elettrica contenuta in un condensatore carico e posto su una resistenza decade esponenzialmente; in questo caso la costante di tempo è τ = R·C

Voci correlate

• Funzione esponenziale

Collegamenti esterni

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