Teorema di Riesz-Fischer

In matematica, in particolare in analisi reale, il teorema di Riesz–Fischer stabilisce che in uno spazio completo ogni successione a quadrato sommabile definisce una funzione quadrato sommabile. In particolare, il teorema determina le condizioni per cui gli elementi di una successione in $l^2$ sono i coefficienti di Fourier di un qualche vettore di $L^2$. Dal teorema segue inoltre che una funzione è a quadrato integrabile se e solo se la serie dei coefficienti di Fourier converge nello spazio $l^2$.

A causa dell'importanza del fatto che $L^2$ sia un insieme completo, a volte con "teorema di Riesz–Fischer" si denota il teorema che ne stabilisce la completezza stessa.

Il teorema è stato formulato indipendentemente dal matematico ungherese Frigyes Riesz e dal matematico austriaco Ernst Fischer nel 1907, ed è una forma più forte della disuguaglianza di Bessel. Si può adoperare per dimostrare l'identità di Parseval per le serie di Fourier.

Il teorema

Siano: $\{u_{\alpha }:\alpha \in A\}$ una base ortonormale e completa di vettori in uno spazio di Hilbert $H$ (completo e con $(,)$ prodotto interno) e sia ${\varphi }_{\alpha }\in l^2(A)$ una successione.

La sommatoria di numeri $\sum |{\varphi }_{\alpha }{|}^2$ converge se e solo se la sommatoria (serie di Fourier) di vettori $\sum {\varphi }_{\alpha }{u}_{\alpha }$ converge ad un (unico) vettore $f\in H$ nella topologia indotta dal prodotto scalare, quadratico, dello spazio. Gli elementi della successione siano i coefficienti di Fourier di $f$ : è ${\varphi }_{\alpha }=(f,u_{\alpha })$.

In modo equivalente si traspone tutto il discorso nello spazio delle funzioni quadrato sommabili. Data la base completa $\{u_{\alpha }\}\in L^2([a,b])$, l'appartenenza di ${\varphi }_{\alpha }$ all'insieme delle successioni a quadrato sommabili comporta l'esistenza di una funzione $f$ tale che ${\int }_a^{b}f(x)u_{\alpha }(x)\mathrm{d}x={\varphi }_{\alpha }$ per ogni $\alpha$.

Conseguenze

Il teorema implica che se l'N-esima somma parziale della serie di Fourier corrispondente a una funzione $f$ è data da:

$S_{N}f(x)=\sum _{n=-N}^N{F}_n{e}^{inx}$

dove $F_n$ è l'n-esimo coefficiente di Fourier:

$F_n=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)e^{-inx}dx$

allora:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert S_{n}f-f\Vert =0$

dove:

$\Vert g\Vert =\underset{-2\pi }{\overset{2\pi }{\int }}{g}^{2}dx$

è la norma-$L^2$

Viceversa, se $\{a_n\}$ è una successione bilatera di numeri complessi, ossia il suo indice spazia da $-\mathrm{\infty }$ a $+\mathrm{\infty }$, tale che:

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\left|a_n\right|}^2<\mathrm{\infty }$

allora esiste una funzione $f$ a quadrato integrabile tale che i valori $a_n$ sono i coefficienti di Fourier di $f$.

Completezza di L^p

Template:Vedi anche La dimostrazione che lo spazio $L^p$ è completo si basa sui teoremi che caratterizzano la convergenza delle serie di funzioni integrabili secondo Lebesgue. Quando $1\le p\le \mathrm{\infty }$ la disuguaglianza di Minkowski implica che $L^p$ è uno spazio normato. Per provare che $L^p$ è completo, cioè che è uno spazio di Banach, è sufficiente provare che ogni serie di funzioni $\sum u_n$ in $L^p(\mu )$, con $\mu$ che può essere la misura di Lebesgue, tale che:

$\sum \Vert u_n{\Vert }_p<\mathrm{\infty }$

converge nella norma di $L^p$ a qualche funzione $f\in L^p(\mu )$. Per $p\le \mathrm{\infty }$, la disuguaglianza di Minkowski e il teorema della convergenza monotona implicano che:

$\int (\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}|u_n|{)}^p\mathrm{d}\mu \le (\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\Vert u_n{\Vert }_p{)}^p<\mathrm{\infty }$

e quindi:

$f=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$

è definita quasi ovunque rispetto a $\mu$ e appartiene a $L^p(\mu )$. Il teorema della convergenza dominata è allora sfruttato per mostrare che la somma parziale della serie converge a $f$ nella norma di $L^p$:

$\int {|f-\sum _{k=0}^n{u}_k|}^p\mathrm{d}\mu \le \int {(\sum _{\ell >n}|u_{\ell }|)}^p\mathrm{d}\mu \to 0\text{ per }n\to \mathrm{\infty }$

Il caso $0\le p\le 1$ richiede alcune modifiche a causa del fatto che la p-norma non è più subadditiva. Si comincia con l'assunzione che:

$\sum \Vert u_n{\Vert }_p^p<\mathrm{\infty }$

e si usa ripetutamente il fatto che:

${\left|\sum _{k=0}^n{u}_k\right|}^p\le \sum _{k=0}^n|u_k{|}^p\text{ per }p<1$

Il caso $p=\mathrm{\infty }$ si riduce a una semplice questione riguardante la convergenza uniforme al di fuori di un insieme di misura nulla rispetto alla misura $\mu$.

Bibliografia

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• Template:En Beals, Richard (2004). Analysis: An Introduction. New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-60047-2.
• Template:En John Horváth. On the Riesz-Fischer theorem Template:Pdf.

Voci correlate

• Disuguaglianza di Bessel
• Funzione quadrato sommabile
• Serie di Fourier
• Spazio metrico completo
• Spazio l2
• Successione (matematica)

Collegamenti esterni

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