Prodotto semidiretto

Template:F In algebra, il prodotto semidiretto è un'estensione del concetto di prodotto diretto. Così come il prodotto diretto, un prodotto semidiretto di due gruppi $(G_1,\cdot ),(G_2,\star )$ è un gruppo che ha come elementi quelli del prodotto cartesiano $G_1\times G_2$, la cui legge di composizione dipende però anche da un omomorfismo particolare scelto fra gli omomorfismi $\psi :(G_2,\star )\to \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}((G_1,\cdot ))$.

Definizione

Dati due gruppi $(G_1,\cdot ),(G_2,\star )$ e un omomorfismo $\psi :(G_2,\star )\to \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}((G_1,\cdot ))$, chiamiamo prodotto semidiretto di $G_1$ e $G_2$ secondo $\psi$ il prodotto cartesiano $G_1\times G_2$ dotato della seguente operazione:

$(a,b)*(c,d)=(a\cdot {\psi }_b(c),b\star d)$

dove indichiamo con ${\psi }_b$ l'automorfismo $\psi (b)$ appartenente all'insieme $\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}((G_1,\cdot ))$.

Il prodotto semidiretto di $G_1$ e $G_2$ secondo $\psi$ può essere indicato come

$(G_1,\cdot ){⋊}_{\psi }(G_2,\star )$.

Prodotto diretto e semidiretto

Il prodotto diretto $(G_1,\cdot )\times (G_2,\star )$ è un caso particolare di prodotto semidiretto: quello ottenuto considerando tra $(G_2,\star )$ e $\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}((G_1,\cdot ))$ l'omomorfismo:

$\psi (b)={\mathrm{I}\mathrm{d}}_1,\mathrm{\forall }b\in G_2$

dove ${\mathrm{I}\mathrm{d}}_1$ è l'automorfismo identità in $(G_1,\cdot )$. Infatti l'operazione su $(G_1,\cdot ){⋊}_{\psi }(G_2,\star )$ sarà a questo punto:

$(a,b)*(c,d)=(a\cdot {\psi }_b(c),b\star d)=(a\cdot {\mathrm{I}\mathrm{d}}_1(c),b\star d)=(a\cdot c,b\star d).$

Questa, per l'appunto, non è altro che l'operazione del prodotto diretto.

Teorema sulla decomposizione in prodotto semidiretto

Sia $(G,*)$ un gruppo e siano $H,K$ due suoi sottogruppi.

Se:

• $H◃G$ ($H$ è normale in $G$),
• $G=HK=\{h*k\mid h\in H,k\in K\},$
• $H\cap K=\{e\},$

allora $G\cong H{⋊}_{\psi }K$, dove ${\psi }_k(h)=kh{k}^{-1}$ (ossia ogni elemento viene mappato da $\psi$ nel rispettivo automorfismo coniugio).

L'isomorfismo tra $G$ e $H{⋊}_{\psi }K$ sarà quello che manda il generico elemento $h*k$ in $(h,k)$.

Esempi di gruppi semidiretti

• Dato un gruppo avente ordine $pq$, con $p,q$ numeri primi distinti, $p<q$, esso, per il teorema enunciato e per i teoremi di Sylow, sarà decomponibile come:

  ${\mathbb{Z}}_q{⋊}_{\psi }{\mathbb{Z}}_p.$

  In particolare, se $p$ non divide $|\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}({\mathbb{Z}}_q)|=\phi (q)=q-1$ ($\phi$ è la funzione φ di Eulero), l'unico omomorfismo tra ${\mathbb{Z}}_p$ e $\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}({\mathbb{Z}}_q)$ è quello che mappa ogni elemento nella funzione identità, e quindi in tale caso

  $G\cong {\mathbb{Z}}_q{⋊}_{\psi }{\mathbb{Z}}_p={\mathbb{Z}}_q\times {\mathbb{Z}}_p$

• Ogni gruppo diedrale $D_n$ è isomorfo al seguente prodotto semidiretto:

  ${\mathbb{Z}}_n{⋊}_{\psi }{\mathbb{Z}}_2,$

  dove $\psi (0)$ è l'identità su ${\mathbb{Z}}_n$ e $\psi (1)$ è l'applicazione che manda ogni elemento $m$ di ${\mathbb{Z}}_n$ nel suo opposto $-m$. In particolare un isomorfismo $\varphi :D_n\to {\mathbb{Z}}_n{⋊}_{\psi }{\mathbb{Z}}_2$ è quello tale che:
  • $\varphi (r)=(1,0),$
  • $\varphi (s)=(0,1),$
  e quindi

  $\varphi (r^h{s}^k)=(h,k),$

  dove $r,s$ sono rispettivamente una rotazione di angolo minimo e una simmetria fissata.
• Il gruppo di Poincaré, il gruppo di isometrie dello spazio-tempo di Minkowski, è il prodotto semidiretto delle traslazioni e delle trasformazioni di Lorentz
• Il gruppo fondamentale della bottiglia di Klein può essere scritto nella forma

  $⟨a,b\mid ab{a}^{-1}=b^{-1}⟩,$

  ed è perciò prodotto semidiretto del gruppo degli interi, $\mathbb{Z}$, con sé stesso.

Applicazioni

I prodotti semidiretti sono di aiuto nella classificazione dei gruppi, ad esempio permettono di classificare tutti i gruppi di ordine $pq$ con $p,q$ primi e $p<q$:

Se $q\equiv ̸1modp,$ c'è un solo gruppo ed è ${\mathbb{Z}}_{pq}.$

Se $q\equiv 1modp,$ ce ne sono due, uno è ${\mathbb{Z}}_{pq}$ e l'altro, non abeliano, è dato da $\{\left(\begin{array}{cc}x& y\\ 0& 1\end{array}\right):x\in {\mathbb{Z}}_q^{*},y\in {\mathbb{Z}}_q,x^p\equiv 1modq\}\subset \text{Aff}({\mathbb{Z}}_q).$

Di seguito è riportato un esempio di come il prodotto semidiretto ci può aiutare a classificare i gruppi di un ordine assegnato.

Classificazione dei gruppi di ordine 30:

Sia $\mid G\mid =30=2\cdot 3\cdot 5$ allora per i teoremi di Sylow $G$ contiene un sottogruppo di ordine 2, uno di ordine 3 e uno di ordine 5, e vale $n_5\in \{1,6\}$ e $n_3\in \{1,10\}$. Non può essere contemporaneamente $n_3=10$ e $n_5=6$ altrimenti $G$ avrebbe 20 elementi di ordine 3 e 24 di ordine 5, allora almeno uno dei due sottogruppi è normale e possiamo quindi considerare il loro prodotto che è un sottogruppo di $G$ di ordine 15. Per il teorema precedente deve necessariamente essere ciclico e poiché ha indice 2 deve essere normale.

Per il teorema sulla decomposizione in prodotto semidiretto $G\cong {\mathbb{Z}}_{15}{⋊}_{\psi }{\mathbb{Z}}_2$ con $\psi :{\mathbb{Z}}_2\to \text{Aut}({\mathbb{Z}}_{15})\cong {\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_4$ che agisce per coniugio. Contiamo ora gli omomorfismi da ${\mathbb{Z}}_2$ a ${\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_4$ questi sono 4, infatti dobbiamo scegliere dove mandare $1$ che ha ordine 2 e poiché $\psi$ è un omomorfismo $\psi (1)\mid 2$, allora $\psi (1)\in \{(0,0),(0,2),(1,0),(1,2)\}$. Abbiamo mostrato che ci sono al più 4 gruppi di ordine 30 e considerando ${\mathbb{Z}}_{30},{\mathbb{Z}}_3\times D_5,{\mathbb{Z}}_5\times D_3,D_{15},$ è facile vedere che questi sono 4 gruppi di ordine 30 non isomorfi.

Proprietà

Mentre il prodotto diretto di due gruppi abeliani è sempre abeliano, non si può dire altrettanto del prodotto semidiretto (un esempio è dato dai gruppi diedrali, dato che $D_n$ è non abeliano per ogni $n\ge 3$), e anzi, un prodotto semidiretto di due gruppi abeliani è abeliano se e solo se il prodotto semidiretto coincide con quello diretto.

Voci correlate

• Prodotto diretto
• Prodotto intrecciato

Collegamenti esterni

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